CE-003: Estatística II - Turma: K/O, Prova Final (08/12/2014)

GRR: ___________________ Nome: ___________________________________________________ Turma: ______________________________________________________

1.
O escore de um estudante em um determinado exame é padronizado e expresso por um número entre 0 e 1. Suponha que um estudante é aprovado se obtiver um escore de pelo menos 0,65. Suponha ainda que o resultado pode ser modelado por uma variável aleatória com função de densidade de probabilidades dada por:
       (
       {  10x      se 0 < x < 0,6
f(x) =    53- 5x   se 0,6 < x < 1
       (
          0        caso contrário

(a)
Qual a probabilidade que um estudante não seja aprovado no exame?
(b)
Qual o escore mediano?
(c)
Qual o escore médio?
(d)
Qual o escore será obtido com apenas 10% de chance de haver escores acima dele?
(e)
Se um estudante foi aprovado, qual a probabilidade de que seu escore tenha sido superior a 0,80?
(f)
Suponha agora que são sorteados 5 estudantes ao acaso deste grupo para fazer uma entrevista de avaliação. Faça suposições adequadas e obtenha a probabilidade de que: (i) nenhum deles tenha sido aprovado; (ii) ao menos um tenha disto reprovado.
(g)
Suponha ainda que agora vai se sortear estudantes ao acaso para entrega de um prêmio de participação para dois aprovados. Qual a probabilidade de que seja necessário fazer mais de três sorteios (i.e. quatro ou mais sorteios) até se sortear o segundo aprovado?

Solução:

PIC

(a)
P[X < 0, 65] = 1 - P[X > 0, 65] = 1 -(1-0,65)(5--5*0,65)-
      2 = 0, 694
(b)
Md(x) = q0,50-→P[X < q0,50] = 0, 50 (q0,50)((10∕3)q0,50)
       2 = 0, 50 q0,50 = 0, 548
(c)
E[X] = 01f(x)dx = 0, 533
(d)
P[X < q0,90] = 0, 90 (1- q  )(5-5q   )
---0,90-2---0,90- = 0, 90 q0,90 = 0, 8
(e)
P[X > 0, 80|X > 0, 65] = P-[X->0,80]
P [X >0,65] = (1-0,80)(5--5*0,65)∕2
(1-0,65)(5- 5*0,65∕2) = 0, 327
(f)
Supondo sorteio com reposição ou que a população de estudantes é “grande”:
Y : número de estudantes aprovados entre os 5 escolhidos
Y ~ B(n = 5,p = P[X > 0, 65] = 0, 306)
(i)P[Y = 0] = (  )
  5

  0(0, 306)0(1 - 0, 306)5 = 0, 161
(ii)P[Y 4] = 1 - P[Y = 5] = 1 -(  )
  5
  5(0, 306)5(1 - 0, 306)0 = 0, 997
(g)
Supondo sorteio com reposição ou que a população de estudantes é “grande”:
Y : número de estudantes sorteados "reprovados” até obter o segundo aprovado
Y ~ BN(r = 2,p = P[X > 0, 65] = 0, 306)
(i)P[Y 2] = 1 - P[Y 0] - P[Y 1] =
1 -(          )
  0 + 2 - 1
    2 - 1(1 - 0, 306)0(0, 306)2 -(          )
  1 + 2 - 1
    2 - 1(1 - 0, 306)1(0, 306)2 = 0, 776

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2.
O diagrama ramo-e-folhas abaixo mostra medidas do fluxo anual do rio Nilo próximo à cidade de Ashwan no período de 1871-1970.
  A casa decimal esté 2 digitos à direita de |  
 
   4 | 6  
   5 |  
   6 | 5899  
   7 | 000123444455667778  
   8 | 000011222233344555556667779  
   9 | 0011222244466678899  
  10 | 0122234455  
  11 | 00012244566678  
  12 | 112356  
  13 | 7

(a)
Obtenha a mediana e quartis dos dados
(b)
Obtenha o máximo, mínimo, primeiro e nono decis
(c)
Faça um diagrama box-plot dos dados
(d)
O que pode ser dito da distribuição dos dados baseando-se nos gráficos e medidas?

Solução:

(a)
     Mediana 1o Quartil 3o Quartil
         895        800       1035
(b)
       Min      Max 1o decil 9o decil
       460     1370      725     1160
(c)
boxplot:
PIC
3.
Sabe-se que o tempo de uso de um determinado serviço pode ser descrito pela distribuição exponencial e tem média de 30 segundos. Qual a probabilidade de um acesso:
(a)
ter o tempo inferior a 12 segundos;
(b)
durar entre 12 e 30 segundos;
(c)
ultrapassar 42 segundos, sabendo-se que já chegou a 30 segundos?

Os acessos são divididos em três categorias: rápidos (com tempo inferior a 12 segundos), médios (com tempo entre 12 e 30 segundos), longos (com tempos entre 30 e 40 segundos) e demorados (com tempo superior a 42 segundos). Os custos e cada categoria são definidos como sendo, respectivamente 1,5; 2,8; 5,0 e 10,0 unidades de custo.

(d)
Qual o custo médio dos acessos?

Se for tomada uma amostra de 100 tempos, qual a probabilidade de que o tempo médio desta amostra:

(e)
ultrapasse 35 segundos;
(f)
esteja entre 28 e 35 segundos?
(g)
Qual deve ser o tamanho da amostra para que a probabilidade do tempo médio da amostra ultrapassar 35 segundos seja no máximo de 0,01?

Desconfia-se que houve alguma mudança no padrão dos tempos de acesso e para verificar isto tomou-se uma amostra de 100 tempos de acesso. A seguir estão alguns desses valores.

  16,8   2,2   16,1   9,5   19,5   1,5   26   6,4   18,9   25,6   ...   ... 26,1   9,5   10,2

A média dos tempos amostrados é de 32,71.

(h)
Obtenha um intervalo de confiança (95%) para o tempo médio.
(i)
Voce diria que há evidências fortes de que houve uma mudança no comportamento dos tempos de acesso? Justifique.

Solução:

X : tempo de acesso ao serviço
X ~ E(λ = 130)f(x) = 1--
30 exp{-x∕30}F(x) = 1 - exp{-x∕30}
(a)
P[X < 12] = x=012f(x)dx = F(12) = 0, 3297
(b)
P[12 < X < 30] = x=1230f(x)dx = F(30) - F(12) = 0, 3024
(c)
Pela propriedade de falta de memória de exponencial,
P[X > 42|X > 30] = P[X > 12] = 1 - P[X < 12] = 1 - x=012f(x)dx = 1 - F(12) = 0, 6703

(d)
Y : custo de acesso





y 1,5 2,8 5,0 10





P[Y = y] P[X < 12] = 0,33 P[12 < X < 30] = 0,302 P[30 < X < 42] = 0,121 P[X > 42] = 0,247





E(X) = iyiP[Y = yi] = 1, 5 0, 33 + 2, 8 0, 302 + 5, 0 0, 121 + 10, 0 0, 247 = 4, 4 unidades de custo

X ~ Exp(λ = 130)E(X) = 1∕λV ar(X) = 1∕λ2
Xn N(μ = 1∕λ = 302 = (1∕λ2)∕n = 302∕n)n = 100
(e)
P[X > 35] = P[Z > 35-30
-30∕10] = P[Z > 1, 667] = 0, 048
(f)
P[28 < X < 35] = P[28-30
30∕10 < Z < 35-30-
30∕10] = P[-0, 667 < Z < 1, 667] = 0, 7
(g)
P[X > 35] 0, 01
P[Z > 35 -√-30
30∕  n] 0, 01
35 - 30
---√----
30∕  n 2, 326
n 2,3262302-
(35 - 30)2 = 195
Assumindo  que  Xn-≈  N (μ = 1∕ˆλ =  30,σ2 = (1∕ˆλ2)∕n =  302∕n)

(h)
ˆλ ± z0,95ˆλ√ --
  n-→32, 71 ± 1, 96321,701-→(26,3;39, 12)
(i)
Justifique.

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