CE-003: Estatística II - Turma: AMB/K/O, 1a Prova (02/04/2014)

GRR: ______________________ Nome: _____________________________________________________________ Turma: ________________________________________________________________

1.
Suponha que em uma determinada sexta-feira voce está interessado em saber se vai ou não ocorrer chuva em uma região na manhã do próximo domingo para confirmar ou desmarcar uma determinada atividade. Voce decide então consultar três sites de previsão meteorológica. Baseado em previsões anteriores sabe-se que, para este horizonte de previsão, o primeiro site acerta a previsão 62% de suas previsões, a segundo tem uma taxa de acerto de 85% e o terceiro de 54%.
(a)
Qual a probabilidade de algum dos sites fornecer a previsão correta?
(b)
Qual a suposição necessária para resolver o problema com os dados fornecidos? Comente se e/ou quando tal suposição é adequada.
(c)
Um amigo seu sugere o seguinte: “se dois ou mais sites indicarem que não vai chover a atividade deve ser mantida”. O que voce acha desta sugestão?
(d)
Considere agora somente o segundo site. Verificando com mais detalhes as previsões anteriores feitas por este site voce nota ainda que a taxa de acerto é de 60% para os dias que de fato chovem e de 93% para os dias que não chove. Obtenha a probabilidade de chuva na região.

Solução:

Eventos:
S1 : o primeira site acerta a previsão
S2 : o segundo site acerta a previsão
S3 : o terceiro site acerta a previsão
Probabilidades informadas:
P(S1) = 0,62P(S2) = 0,85P(S3) = 0,54
P(S1) = 0,38P(S2) = 0,15P(S3) = 0,46
(a)
P(S1 S2 S3) = 1 - P(S1 S2 S3)in=d1 - P(S1) P(S2) P(S3) = 1 - (1 - 0,62)(1 - 0,85)(1 - 0,54) = 0,974
(b)
Independência. A resposta deve discutir se/quando é adequado considerar previsões de diferentes sites como independentes.
(c)
O critério proposto não leva em consideração que os sites possuem probabilidades de acerto diferentes.
(d)
Eventos e probabilidades:
                          --
C : chuvaP [S2|C] = 0,60P[S2|C] = 0,93

Probabilidade pedida: P[C]

P[S2] = P[S2 C] + P[S2 C]
P[S2] = P[S2|C] P[C] + P[S2|C] P[C]
P[S2] = P[S2|C] P[C] + P[S2|C] (1 - P[C])
0,85 = 0,60 P[C] + 0,93 (1 - P[C])
P[E] = 0,95--0,85
0,93- 0,60 = 0,242

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2.
Alguns historiadores atribuem como marco do início do estudo de probabilidades a sequência de correspondências trocadas entre Blaise Pascal e Pierre de Fermat em 1654. Os dois resolveram um problema que ficou conhecido como “o Dilema de Chevalier”, em referência a um aristocrata e também compulsivo jogador e apostador chamado Chevalier de Mere.

Chevalier estava interessado no número de lançamentos de dois dados que deveriam que ser realizados para se obter um par de seis. Neste problema indique como seriam feitos os cálculos necessários (não é preciso fazer as contas, apenas indicá-las) para se obter:

(a)
a probabilidade de se obter o par de 6 com no máximo 10 lançamentos,
(b)
a probabilidade de não se obter o par de seis em 30 lançamentos,
(c)
o número esperado de lançamentos para se obter o par de seis,
(d)
o número de lançamentos para que a probabilidade de se obter ou não um par de seis fosse aproximadamente iguais.

Solução:

X : número de fracassos até obter um par de seis
X ~ G(p = 136)
(a)
P[X 9] = k=09(1 - 136)k (136) = 0,24551
(b)
P[X > 30] = 1 - P[X 30] = 1 - k=030(1 - 136)k (136) = 0,41757
(c)
E[X] + 1 = (1-pp) + 1 = (1-11∕∕3366)- + 1 = 35 + 1 = 36
(d)
P[X K] 0,5-→K = 24 (25 tentativas)

Comandos do R para calcular os resultados: ______________________________________________________________________________________________________

3.
Uma certa enciclopédia eletrônica possui, em média, 1,7 erros por página. Acessa-se (ao acaso) uma página desta enciclopédia e deseja-se saber a probabilidade desta página não conter erros. Identifique a variável aleatória, uma distribuição de probabilidades adequada e calcule a probabilidade de interesse.

Solução:

X : número de erros por página
X ~ P(λ = 1,7)-→P[X = x] =  - λ x
 e--λ--
  x!
P[X = 0] = e-1,71,70
   0! = 0,1827

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4.
A probabilidade de haver algum acidente considerado grave em um dia, em um trecho de uma rodovia é de 0,04 se não chove e de 0,12 se chove. Sabe-se que, no período considerado, chove em 30% dos dias.
(a)
Se em um determinado dia não houve nenhum acidente, qual a probabilidade que não tenha chovido?
(b)
qual a probabilidade de que, chovendo ou não, haja acidente?

Solução:
Eventos e probabilidades informadas:

A : ocorre acidenteA : não ocorre acidente
C : choveC : não chove
P[A|C] = 0,04-→P[A|C] = 1 - 0,04 = 0,96
P[A|C] = 0,12-→P[A|C] = 1 - 0,12 = 0,88
P[C] = 0,30-→P[C] = 1 - 0,30 = 0,70
Probabilidades pedidas:
(a)
P[C|A] = P[C∩A]
-P[A]- =     P[C∩A-]
P-[C∩A]+P[C∩A] =      P[C]⋅P[A-|C]
P[C]⋅P[A|C]+P[C]⋅P[A|C] =     0,70⋅0,96
0.70⋅0,96+0,30⋅0,88 = 0,718
(b)
P[A] = P[A C] + P[A C] = P[C] P[A|C] + P[C] P[A|C] = 0,30 0,12 + 0,70 0,04 = 0,064

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5.
Os escores obtidos em um exame de proficiência se distribuem segundo a distribuição normal com média 400 e desvio padrão 45.
(a)
Qual a porcentagem de pessoas com escores acima de 350?
(b)
Qual a porcentagem de pessoas com escores entre 450 e 500?
(c)
Qual a porcentagem de pessoas com escores que não se afastem da média mais do que 30?
(d)
Qual valor deve ter 80% dos escores abaixo dele, ou seja, qual escore corresponde ao percentil 80?
(e)
Mantendo-se a mesma média, quanto deveria ser o desvio padrão ter 10% dos escores acima de 500?

Solução:

X : escores no exame e proficiência
X ~ N(400,452)
(a)
P[X > 350] = P[Z > -1,11] = 0,8667-→86,67%
(b)
P[450 < X < 500] = P[1,11 < Z < 2,22] = 0,1201-→12,01%
(c)
P[|X - 400| < 30] = P[370 < X < 430] = P[-0,667 < Z < 0,667] = 0,495-→49,5%
(d)
P[X < a] = 0,8-→P[Z < 0,842] = 0,8-→(a - 400) 45 = 0,842-→a = 437,9
(e)
P[X > 500|μ = 400] = 0,1-→P[Z < 1,28] = 0,1-→(500 - 400) σ = 1,28-→σ = 78

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6.
O rendimento de uma frota de veículos de uma locadora tem a seguinte função de densidade de probabilidades. Calcule o solicitado nos itens a seguir.
f(x) = ({( kk((x-211-45)x)  ssee 5 7 ≤≤ xx < ≤ 711
         0       caso contrário

(a)
O valor de k.
(b)
P[X > 10].
(c)
P[7,5 < X < 9,5].
(d)
O consumo médio.
(e)
O consumo mediano.

Solução:
PIC

(a)
f(x)dx = 1
57k(x - 5)2dx + 711k(11 - x)4dx = 1
k-
2[ 2   2          ]
 7--- 5 - 5(7- 5)
    2 + k-
4[             2   2]
 11(11 - 7)- 11---7-
               2 = 1
k =       1
      3
(b)
P[X > 10] = 1011f(x)dx = 1∕3-
 4[                  ]
 11(11 - 10) - 112-102
               2 = 0,0417
(c)
P[7,5 < X < 9,5] = 7,59,5f(x)dx = 1∕3
-4-[             9,52-7,52]
 11(9,5- 7,5)- ---2--- = 0,417
(d)
E[X] = 511f(x)dx = 7,67
(e)
5Mdf(x)dx = 0,5 Md = 7,54

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