CE-003: Estatística II - Turma: AMB, 2a Prova (25/07/2013)

GRR: ______________________ Nome: _____________________________________________________________ Turma: _____

  1. Em cada uma das situações a seguir: identifique a variável aleatória, a distribuição adequada e calcule a probabilidade solicitada. Em um estudo de ecologia definem-se como unidades de investigação parcelas de 25m2. O interesse é verificar a ocorrência de uma determinada espécie vegetal em parcelas alocadas aleatoriamente em uma área de vegetação natural. Espera-se que 70% das parcelas contenham a espécie com um número médio de 1,21 plantas por parcela da espécie.
    1. Qual a probabilidade de encontrar a espécie em ao menos três dentre cinco parcelas observadas?
    2. Se parcelas forem inspecionadas até encontrar três delas com presença da espécie, qual a probabilidade de ser necessário examinar mais que cinco parcelas?
    3. Se um estudo preliminar registrou a presença em 35 entre 100 parcelas examinadas e uma outra equipe revisita cinco das parcelas, qual a probabilidade de encontrar a espécie em no máximo uma delas?
    4. Qual a probabilidade de se encontrar duas ou mais plantas em uma parcela?

    Solução:

    1. Evento XA : número de parcelas com a espécie entre cinco parcelas
      XA Bin(n = 5,p = 0,70)
      P[XA 3] = P[XA = 3] + P[XA = 4] + P[XA = 5] = 0.837
    2. Evento XB : número de parcelas inspecionadas até encontrar a 3a com a espécie
      XB NB(k = 2,p = 0,15)
      P[XB 5] = 1 P[XB = 3] P[XB = 4] P[XB = 5] = 0.163
    3. Evento XC : número de parcelas com a espécie dentre 5 revisitadas
      XC HG(N = 100,K = 35,n = 5)
      P[XC 1] = P[XC = 0] + P[XC = 1] = 0.424
    4. Evento XD : número de plantas por parcela
      XD P(λ = 1,21)
      P[XD 2] = 1 P[XD = 0] P[XD = 1] = 0.341

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  2. Seja a função f(x) = exp{−(x K)} para 4 < x < +.
    1. qual deve ser o valor de k para que f(x) seja função de densidade de probabilidade?
    2. calcule P[X > 6]
    3. calcule P[X < 8|X > 5]
    4. encontre os quartis desta distribuição.
    5. encontre o valor esperado desta distribuiçao

    Solução:

    1. 4f(x)dx = 1−→K = 4
    2. P[X > 6] = 6f(x)dx = 0.135
    3. calcule P[X < 8|X > 5] = PP[5<[XX><58]- = ∫∫5∞58ff(x()xd)dxx = 0.95
    4. 4Q1 f(x)dx = 0,25−→Q1 = 4.3
      4Q2 f(x)dx = 0,50−→Q2 = 4.7
      4Q3 f(x)dx = 0,75−→Q3 = 5.4
    5. E[X] = 4x f(x)dx = 5

    Complementos e soluções alternativas:

    F(x) = 0xf(x)dx = 1
--
6(5x 2x2)
    (Quantis)xq =     √--------
5−---25-−-24p-
      2(obtido com F1(x))
    P[X > 6] = 1 Fx(6) = 0.135
    P[X < 8|X > 5] = F (8) − F(5)
------------
  1− F (5) = 0.95
    Q1 = x0,25 = F1(0,25) = 4.29
    Q2 = x0,50 = F1(0,50) = 4.69
    Q3 = x0,75 = F1(0,75) = 5.39

    PIC
    Figura 1: Função de densidade de probabilidades (esquerda) e de densidade acumulada (direita). Valores marcados são os quartis e esperança da v.a. X.

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  3. Assume-se que a geração diária de energia (em escala logarítmica) por uma turbina eólica possui distribuição normal de média 2,5 e desvio padrão 0,60 unidades.
    1. Qual a probabilidade da geração ser inferior a 2 unidades em um particular dia?
    2. Qual a probabilidade da geração diária ficar entre 2 e 3 unidades?
    3. Define-se como o o valor mínimo de referência o valor gerado em pelo menos 80% dos dias? Qual é este valor?
    4. Qual a probabilidade de gerar mais que 18 unidades em uma semana (7 dias)?
    5. Qual a probabilidade da geração diária média em um mês (30 dias) ultrapassar 2,6 unidades?

    Solução:

    X : geração diária (log) X N(2,5;0,62)
    Xn : média da geração diária em n dias Xn N(2,5;0,62∕n)
    1. P[X < 2] = P[Z < 2−02,6,5-] = P[Z < 0.833] = 0.202
    2. P[2 < X < 3] = P[2−-2,5-
 0,6 < Z < 3−2,5
 0,6] = P[0.833 < Z < 0.833] = 0.595
    3. P[X > x] = P[Z > z] = 0,80
      z = x-−-2,5
  0,6 = 0.8416
      x = 2,5 + 0,6 (0.8416) = 2.00
    4. P[ i = 17Xi > 18] = P[X7 > 187] = P[Z < (18∕70),6−2,5] = P[Z < 0.119] = 0.376
    5. P[X30 > 2,6] = P[Z < 2,5−2√,5
0,6∕ 30] = P[Z < 0.913] = 0.181

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  4. Foi feita uma pesquisa com 1.500 pessoas que acessam um site para se estimar a proporção de mulheres que acessam o site. Encontrou-se que 1150 acessos eram de mulheres.
    1. Obtenha a margem de erro para pesquisa para confiança de 95%
    2. Qual seria esta margem e erro para uma amostra de 500 pessoas?
    3. Qual deveria ser o tamanho da amostra para que a margem de erro não ultrapasse 1%
    4. Teste, com base na pesquisa feita, a hipótese de que as mulheres representam mais que 75% dos acessos.

    Solução:

    1. M.E. = z∘ --------
   p(1− p)
   ---n----
      M.E. (assintótica) = z∘ --------
   ˆp(1−-ˆp)-
      n = 1.96∘ --------------
  0.77(1−-0.77)
      1500 = 0.021
      M.E. (conservadora) = z∘ --------
   ˆp(1− ˆp)
   --------
      n = 1.96∘ --------
     1
  -------
  4 ⋅1500 = 0.025
    2. M.E. = z∘ --------
   p(1−-p)-
      n
      M.E. (assintótica) = z∘ -ˆp(1−-ˆp)
   --------
      n = 1.96∘ 0.77(1−-0.77)-
  -------------
       500 = 0.037
      M.E. (conservadora) = z∘ --------
   ˆp(1−-ˆp)-
      n = 1.96∘ -------
  --1---
  4 ⋅500 = 0.044
    3. Qual deveria ser o tamanho da amostra para que a margem de erro não ultrapasse 1%
      M.E. = z∘ --------
  p(1−-p)-
     n
      n =  z2
M.E.2-p(1 p)
      n (assintótico) =     2
1.96-
0,0120.77(1 0.77) = 6872
      n (assintótico) = 1.962
0,0120,5(1 0,5) = 9604
    4. H0 : p = 0,75 vsHa : p > 0,75
      α = 0,95
      zc = ∘-ˆp−-p0---
  p0(1−p0)
     n = ∘0.77-−-0,75-
   0,75(1−0,75)-
     1500 = 1.526
      z0,95 = 0.6745
      p valor = 0.0635
      Conclusão : Não Rejeita H0

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  5. Foi tomada uma amostra para estimar a biomassa em uma área de regeneração a partir de uma amostra de um conjunto de parcelas, obtendo os valores a seguir. Faça as suposições necessárias e obtenha intervalos e confiança (90%) para a média e para a variância da biomassa. Teste a hipótese de que a biomassa está abaixo do valor esperado de 157 unidades.
    156,4   155,7   157,1   155,9   156,9  160,1   154,9   156,1   157,4   158,5   155,4   157,1

    Solução:

    1. I.C.90%(μ) :
      x ± t(n1),90%S--
√n-
      156.8 ± 0.8191.43
√----
  12
      156.8 ± 0.743
      (156.0;157.5)
      I.C.90%(σ2) :
      (                     )
  (n − 1)S2  (n − 1)S2
  ---χ2----; --χ2-----
      sup       inf
      (                         )
  (12-−-1)2.05- (12-−-1)2.05-
      19.7   ;    4.57
      (1.147;4.933)
    2. H0 : μ = 157 vsHa : μ < 157
      α = 0,10
      tc = x− μ
--√--0
S∕  n = 156.8 − 157
-----------
  1.43∕12 = 0.5038
      t0,90 = 1.363
      p valor = 0.312
      Conclusão : Não Rejeita H0

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