CE-003: Estatística II - Turma: AMB, 1a Prova (04/06/2013)

GRR: _____________________ Nome: __________________________________________________________ Turma: _____

  1. Foram feitas medidas de um certo poluente em 10 pontos de uma bacia hidrográfica, antes (A) e depois (D) de um programa de controle de efluentes nas indústrias locais. Os gráficos a seguir resumem os dados. PIC
    1. Descreva e compare as distribuições dos dados de cada instante (antes e depois do programa).
    2. Forneça valores aproximados para a mediana, amplitude e amplitude interquartílica de cada instante.
    3. Discuta, baseando-se nos dados, a eficácia do programa.
    4. Interprete e discuta o gráfico da direita.
  2. Um site de vendas pela internet registra 40% dos acessos do estado do PR, 50% de outros estados e 10% do exterior. 20% dos acessos do PR resultam em uma compra, enquanto que os percentuais para outros estados e exterior são de 10% e 30%, respectivamente.
    1. Qual a probabilidade de um acesso resultar em compra?
    2. Se foi feita uma compra, qual a probabilidade de ela não ter sido do exterior?

    Solução:
    Eventos:

    P R : acesso do PR,OE : acesso de outros estados,EX : acesso do exterior

    C : compra

    Probabilidades informadas:

    P[PR ] = 0,40P [OE ] = 0,50P [EX ] = 0,10

    P [C|PR ] = 0,20P [C|OE ] = 0,10P [C|EX ] = 0,30

    1. P[C] = P[PRC]+P[OEC]+P[EXC] = P[PR]P[C|PR]+P[OE]P[C|OE]+P[EX]P[C|EX] = (0,40)(0,20) + (0,50)(0,10) + (0,10)(0,30) = 0.16
    2. P[EX|C] = 1P[EX|C] = 1P[EX∩C-]
  P[C ] = 1P[EX-]⋅P[C|EX-]
    P [C] = 1----------(0,10)(0,30)----------
(0,40)(0,20)+(0,50)(0,10)+(0,10)(0,30) = 0.8125

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  3. Dois jogadores vão disputar as finais de um torneio e o campeão será o que vencer três partidas. Baseado no restrospecto dos resultados estima-se que a cada partida as probabilidades de vitória dos jogadores são 0,4 e 0,6. Calcule e/ou responda os itens a seguir.
    1. Qual a probabilidade de haver mais que três jogos?
    2. Quais as chances de cada jogador vencer o torneio?
    3. Qual a probabilidade do jogador com menor chance vencer o torneio caso perca as duas primeiras partidas?
    4. Qual a probabilidade do jogador com maior chance vencer caso tenha tido apenas uma vitória nas três primeiras partidas?
    5. Qual(ais) as suposições feitas nos cálculos acima?

    Solução:
    Eventos e probabilidades:

    A : jogador A ganha o jogoB : jogador B ganha o jogo
    P(A) = 0,4P(B) = 0,6
    Ω = { (A,A,A),
    (B,A,A,A),(A,B,A,A),(A,A,B,A),
    (B,B,A,A,A),(B,A,B,A,A),(B,A,A,B,A),(A,B,B,A,A),(A,B,A,B,A),(A,A,B,B,A)
    (A,A,B,B,B),(A,B,A,B,B),(A,B,B,A,B),(B,A,A,B,B),(B,A,B,A,B),(B,B,A,A,B)
    (A,B,B,B),(B,A,B,B),(B,B,A,B)
    (B,B,B)}

    Entretanto o espaço amostral e probabilidades podem ser resumidas na tabela a seguir em que nA é o número de vitórias de A e nB é o número de vitórias de B.

    nA 3 3 3 2 1 0







    nB 0 1 2 3 3 3







    Pr p3,0 = (0,4)3 p3,1 = 3 0,430,61 p3,2 = 6 0,430,62 p2,3 = 6 0,420,63 p1,3 = 3 0,410,63 p0,3 = 0,63







    1. P(nA + nB > 3) = p3,1 + p3,2 + p2,3 + p1,3 = 1 p4,0 p0,4 = 1 (0,4)3 (0,6)3 = 0.72
    2. P(A vencer) = P(nA = 3) = p3,0 + p3,1 + p3,2 = 0.3174
      P(B vencer) = P(nB = 3) = 1 P(nA = 3) = 0.6826
    3. P[nA = 3|(B,B,)] =?
      Ω1 = { (B,B,A,A,A),(B,B,A,A,B),(B,B,A,B),(B,B,B)}
      P[nA = 3 |(B,B,)] = ------------------(0,4)3(0,6)2------------------
(0,4)3(0,6)2 + (0,4)2(0,6)3 + (0,4)1(0,6)3 + (0,6)3 = 0.064
      Alternativamente pode-se pensar que se A perdeu as duas primeiras precisa ganhar as três próximas partidas e portanto,
      P[nA =  3|(B, B,∗)] = (0,4)3 = 0.064

    4. Ω2 = { (B,A,A,A),(A,B,A,A),(A,A,B,A),(B,A,A,B,A),(A,B,A,B,A),
      (A,A,B,B,A),(A,A,B,B,B),(A,B,A,B,B),(B,A,A,B,B)}
      P = ---------------3(0,4-)2(0,6)3---------------
3(0,4)3(0,6)1 + 3(0,4 )3(0,6)2 + 3(0,4)2(0,6)3 = 0.36
      Alternativamente pode-se pensar que B se perdeu as duas primeiras precisa ganhar as duas próximas partidas e portanto,
      P[nB =  3|ganhou  1 das 3 primeiras] = (0,6)2 = 0.36

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  4. Em um programa da regeneração são plantadas 10 mudas de uma determinada espécie em cada uma das unidades de manejo. A probabilidade de que qualquer muda complete dois anos de idade é de 0,4. Fazendo suposições necessárias, responda os itens a seguir.
    1. Qual a probabilidade de uma unidade ter alguma planta com dois anos?
    2. Quantas mudas deveriam plantadas para que a probabilidade de alguma planta completar dois anos seja superior a 0,99 ?
    3. Qual deveria ser a probabilidade de cada muda completar dois anos para que a probabilidade da unidade ter alguma muda fosse superior a 0,95?
    4. Descreva e discuta as suposições feitas para resolver o problema indicando situações em que elas poderiam ser inválidas.

    Solução:

    Evento Pi : a i-ésima planta completa 2 anosP[Pi] = 0,40 = P[P]−→P[Pi] = 0,60 = P[P]
    Evento C : a unidade tem ao menos 1 planta após 2 anos
    1. P[C] = 1 P[C] = 1 P[P1 P2 P10] = 1 i=110P[Pi] = 1 P[P]10 = 1 0,6010 = 0.994
    2. P[C] > 0,99−→1 0,60n > 0,99−→0,60n < 0,01−→n log(0,01)
 log(0,6) = 10
    3. P[C] > 0,95−→1 P[P]10 > 0,95−→P[P]10 < 0,05−→P[P] < (0,05)110 = 0.74−→P[P] = 0.26

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