CE-003: Estatística II - Turma: K/O, 1a Prova (19/12/2012)

GRR: ___________________ Nome: ___________________________________________________ Turma: ____

  1. A probabilidade de haver algum acidente considerado grave em um dia, em um trecho de uma rodovia é de 0,04 se não chove e de 0,12 se chove. Sabe-se que, no período considerado, chove em 30% dos dias.
    1. Se em um determinado dia não houve nenhum acidente, qual a probabilidade que não tenha chovido?
    2. qual a probabilidade de que, chovendo ou não, haja acidente?

    Solução:
    Eventos e probabilidades informadas:

    A : ocorre acidenteA : não ocorre acidente
    C : choveC : não chove
    P[A|C] = 0, 04-→P[A|C] = 1 - 0, 04 = 0, 96
    P[A|C] = 0, 12-→P[A|C] = 1 - 0, 12 = 0, 88
    P[C] = 0, 30-→P[C] = 1 - 0, 30 = 0, 70
    1. P[C|A] = P[C∩A]
 P [A] = ----P[C-∩A]---
P [C∩A-]+P[C∩A] = -----P-[C]⋅P-[A|C]-----
P [C]⋅P [A|C]+P [C ]⋅P [A|C] = ----0,70⋅0,96----
0.70⋅0,96+0,30⋅0,88 = 0.718
    2. P[A] = P[A C] + P[A C] = P[C] P[A|C] + P[C] P[A|C] = 0, 30 0, 12 + 0, 70 0, 04 = 0.064

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  2. Considere agora que ocorrem em média 0,8 acidentes graves por semana.
    1. Com a informação disponível, qual distribuição de probabilidades (dentre as vistas no curso) poderia ser adequada para descrever o número de acidentes semanais na rodovia? Justifique a sua resposta e mencione quais as suposisões que devem ser feitas ao adotar esta distribuição.
    2. Qual a probabilidade de que haja ao menos um acidente grave em uma semana?
    3. Qual a probabilidade de que não haja acidentes graves em um mês?
    4. Qual a probabilidade de que sejam registrados mais que dois acidentes graves em uma semana?
    5. Qual a probabilidade de que não haja mais do que cinco acidentes graves em um mês?
    6. Sabendo que em um mês houve pelo menos um acidente grave, qual a probabilidade de que ocorram mais que quatro?
    7. Se não houveram acidentes graves até a metade do mês, qual a probabilidade de não haja acidentes no restante do mês.
    8. E se já ocorreu algum acidente na primeira metade do mês?

    Solução:

    X  : o número de acidentes semanais na rodovia

    1. X ~ P(λ = 0, 8), assumindo-se que os acidentes ocorrem segundo um processo de Poisson, portanto, de forma independente (ocorrência de um acidente não influencia a probabilidade de ocorrência de outro).
    2. P[X 1] = 1 - P[X = 0] = 1 -e-0,800!,80 = 0.5507.
    3. Y : o número de acidentes mensais (supondo mês de 30 dias) na rodovia
      Y ~ P(λ = 30
---
7 0, 8 3, 43)
      P[Y = 0] = e-3.433.430-
    0! = 0.0324
    4. P[X > 2] = 1 - P[X 2] = 1 - i=02P[X = i] = 0.0474
    5. P[Y 5] = i=05P[Y = i] = 0.8667
    6. P[Y > 4|Y 1] = P[YP>[Y4∩≥Y1≥]1] = PP[[YY>≥41]] = 11--PP[[YY≤=40]] = 0.2702.
    7. Pelas propriedades do processo de Poisson os eventos são independentes e portanto a probabilidade de acidentes na segunda metade independe da ocorrência na primeira metade. Logo,
      Y 1 : o número de acidentes na primeira metade do mês na rodovia
      Y 2 : o número de acidentes na segunda metade do mês na rodovia
      Y 1 e Y 2 ~ P(λ = 15-
 7 0, 8 1, 71)
      P[Y 2|Y 1] = P[Y 2]
      P[Y 2 = 0|Y 1 = 0] = P[Y 2 = 0] =  - 1,71    0
e-----1,71-
     0! = 0.1809
    8. P[Y 2 = 0|Y 1 0] = P[Y 2 = 0] =  -1,71   0
e---0!1,71- = 0.1809.

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  3. Ainda no contexto da questão anterior:
    1. Qual distribuição poderia ser usada para descrever o tempo entre acidentes graves?
    2. Qual a probabilidade de se passarem 10 dias sem acidentes graves?
    3. Qual o tempo médio entre acidentes graves?
    4. Se não houve acidentes por um período de 5 dias consecutivos, qual a probabilidade de haver um acidente nos próximos 10 dias?

    Solução:

    1. T : Tempo (em dias) entre acidentes
      T ~ Exp(θ = 0, 87)
      f(t) = 0,8-
 7 exp{-0,8-
 7t}
      F(t) = 1 - exp{-0,8-
 7t}
    2. P[T > 10] = 1 - F(10) = 0.319
    3. E[T] = 1
θ = 70, 8 = 8.75 dias
    4. P[T < 15|T > 5] = P[T < 10] = 0.681

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  4. Um mecanismo robótico de inserção contém 10 componentes primários. A probabilidade de que qualquer um dos componentes falhe durante o período de garantia é de 0,03. Assume que as falhas dos componentes são independentes e o mecanismo falha se qualquer um dos componentes falharem.
    1. Qual a probabilidade de que o mecanismo falhe durante o período de garantia?
    2. Qual deveria ser a probabilidade individual de falha dos componentes para que a probabilidade de falha do mecanismo não ultrapassasse 0,05?

    Solução:

    Evento Fi : falha do i-ésimo componenteP[Fi] = 0, 03-→P[Fi] = 0, 97
    Evento M : falha do mecanismo
    1. P[M] = 1 - i=110P[F i] = 1 - 0, 9710 = 0.2626
    2. 0, 05 = 1 -{P[Fi]}10-→P[F i] = (1 - 0, 05)110 = 0.9949-→P[F i] = 1 - P[Fi] = 0.0051

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  5. Seja a função de densidade de probabilidade dada por f(x) = Cx2I [0,4](x). Obtenha:
    1. o valor de C,
    2. P[X > 0, 5],
    3. P[X > 0, 7|X > 0, 5],
    4. E(X),
    5. o terceiro quartil.

    Solução:

                                   ∫ x          C
f(x) = Cx2I [0,4](x) -→  F (x ) =    f (x)dx = --x3I[0,4](x )
                                0            3

    1. 04f(x)dx = 1-→C = 364
    2. P[X > 0, 5] = 1 - F(0, 5) = 0.998
    3. P[X > 0, 7|X > 0, 5] = 11--FF-(0(0,7,5)) = 0.997
    4. E(X) = 04x f(x)dx = = 3
    5. q3 : 0q3f(x)dx = 0, 75-→q 3 = (64 0, 75)13 = 3.63

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  6. Uma editora envia livros de divulgação com caixas com três unidades. O peso individual dos livros tem distribuição normal de média 400 gramas e desvio padrão de 60 gramas e a caixa pesa 200 gramas. Se os livros são escolhidos ao acaso, calcule:
    1. a probabilidade de que uma caixa a ser enviada pese mais que 1,5 quilos;
    2. o custo esperado para envio de 1.000 caixas sabendo-se que paga-se R$5,00 para caixas acima de 2,0 quilos, R$3,00 para caixas entre 1,0 e 2,0 quilos, e R$ 2,00 para caixa abaixo de 1,0 quilo.

    Solução:

    XA : peso do livro; XA ~ N(400, 602)
    XB : peso da embalagem; XB = 200
    XC : peso da caixa com 3 livros; XB ~ N(μc = E(XC)c2 = V (X c))
    E(Xc) = E(3XA + 200) = 3E(XA) + 200 = 1400; V (Xc) = 32V (X a) = 32602
    1. P[Xc > 1500] = P[Z > 1500-1400
   180] = P[Z > 0.56] = 0.2893
    2. C : custo por caixa




      c 2,00 3,00 5,00




      P[C = c] p1 = P[Xc < 1000] p2 = P[1000 Xc < 2000] p3 = P[Xc 2000]




      p1 = P[Xc < 1000] = P[Z < 1000----1400
     180] = P[Z < -2.22] = 0.0131
      p2 = P[1000 Xc < 2000] = P[1000---1400-
    180 < Z < 2000---1400-
    180] = P[-2.22 < Z < 3.33] = 0.9864
      p3 = P[Xc 20000] = 1 - p1 - p2 = 4e - 04
      1000 E[C] = 2, 00p1 + 3, 00p2 + 5, 00p3 = 2987.72

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