CE-003: Estatística II, 3a Prova - 2o semestre 2011 (24/11/2011)


1.
Um tubo de PVC é fabricado com diâmetro médio de 1,01 polegadas e um desvio padrão de 0,03 polegadas. Escolhendo um tubo ao acaso qual a probabilidade de que tenha:
(a)
menos de 1 polegada;
(b)
no máximo 1,05 polegadas;
(c)
entre 1,005 e 1,015 polegadas.

Tomando-se uma amostra de n = 10 tubos, qual a probabilidade que:

(d)
o diâmetro médio seja maior que 1,009 e menor que 1,012;
(e)
a soma dos diâmetros exceda 10,05 polegadas;
(f)
a soma dos diâmetros esteja entre 10,05 e 10,15.

Solução:

X : diâmetro do tubo de PVC (mm)
X ~ N(μ = 1,01X2 = 0,032)
(a)
P[X < 1] = P[Z < 1-01,0,031] = P[Z < -32,667] = 0,3694
(b)
P[X < 1,05] = P[Z < 1,050-,013,01-] = P[Z < 1,333] = 0,9088
(c)
P[1,005 < X < 1,015] = P[1,0005-,031,01 < Z < 1,0150,-013,01] = P[-0,167 < Z < 0,167] = 0,1324

X10 ~ N(μ = 1,01X2 = 0,03210)
ou S10 = i=110x i ~ N(μ = 10,1;σ2 = 10 0,033)
(d)
P[1,009 < X < 1,012] = P[1,009- 1,010
-0,03∕√10-- < Z < 1,012-1,010
-0,03∕√10-] = P[-0,105 < Z < 0,211] = 0,1255
(e)
P[ i=110Xi > 10,5] = P[X > 1,005] = P[Z > 1,005-1,010
  0,03∕10] = P[Z > -0,527] = 0,7009
(f)
P[10,05 < i=110Xi < 10,15] = P[1,005 < X < 1,015] = P[1,005-√1,010-
 0,03∕ 10 < Z < 1,015-√1,010-
 0,03∕  10] = P[-0,527 < Z < 0,527] = 0,4018

  > # a)
  > pnorm(1, m=1.01, sd=0.03)

  [1] 0,3694

  > # b)
  > pnorm(1.05, m=1.01, sd=0.03)

  [1] 0,9088

  > # c)
  > diff(pnorm(c(1.005,1.015), m=1.01, sd=0.03))

  [1] 0,1324

  > # d)
  > diff(pnorm(c(1.009,1.012), m=1.01, sd=0.03/sqrt(10)))

  [1] 0,1255

  > # e)
  > pnorm(1.005, m=1.01, sd=0.03/sqrt(10), lower=FALSE)

  [1] 0,7009

  > # f)
  > diff(pnorm(c(1.005,1.015), m=1.01, sd=0.03/sqrt(10)))

  [1] 0,4018

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2.
Uma peça é produzida com um atributo de interesse seguindo uma distribuição normal de média 100 e variância 25. Amostras serão tomadas periodicamente para monitorar o processo. Qual deve ser o tamanho mínimo das amostras para que a média seja estimada com erro padrão de 1,5 unidades?

Solução:

X : atributo de interesse
X ~ N(μ = 100X2 = 25)
Xn ~ N(μ = 100X2 = 25∕n)
erro padrão : σX=σX√ -
  n = 1,5
n = σX21,52 = 12
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3.
Um fabricante produz anéis de piston para automóveis. O processo produz anéis com diâmetro aproximadamente normal com desvio padrão de 0,001 mm. Uma amostra de 15 anéis mostrou um diâmetro médio de 74,036 mm.
(a)
Encontre intervalos de confiança a 90, 95 e 99% para o valor médio do diâmetro dos anéis.

O processo deve produzir anéis com diâmetro médio de 74,03 mm. Determina-se que se a média das amostras (n = 15) estiver mais que 0,005 unidades afastada desta média, o processo é interrompido para inspeção e ajustes.

(b)
Com esta "regra", qual a probabilidade de interromper o processo desnecessariamente?
(c)
Com a amostra dada o processo é interrompido. Qual a probabilidade dessa decisão ter sido equivocada?
(d)
Qual deveria ser a "regra" para interrupção do processo para que a probabilidade de uma parada desnecessária não fosse superior a 0,01?

Solução:

X : diâmetro dos anéis
X ~ N(μ,σ2 = 0,0012)
amostra : n = 15x = 74,036
(a)
IC1-α(μ) : x ± zα∕2√σ--
  n
IC90%(μ) : 74,036 ± 1,64490,001-
 √15---→(74,0356;74,0364)
IC95%(μ) : 74,036 ± 1,960,√001-
   15-→(74,0355;74,0365)
IC99%(μ) : 74,036 ± 2,57580,√001-
   15-→(74,0353;74,0367)
(b)
P[|X15 - μ| > 0,005|μ = 74,03] = 2 P[Z > --0,005√--
0,001∕ 15] = 0
(c)
P[X15 74,036|μ = 74,03] = P[Z > 74,036-74,03
-0,001∕√15--] = P[Z > 23,238] = 0
(d)
P[|X15 - μ| > k|μ = 74,03] = 0,01-→z = 2,576 = ---k-√--
0,001∕ 15-→k = 0,00067

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4.
Uma amostra aleatória de 50 capacetes foi submetida a testes de impacto e em 18 deles algum dano relevante foi observado.
(a)
Encontre um intervalo de confiança (95%) para a proporção p de capacetes verdadeira (populacional).
(b)
O capacete é considerado aceitável se a proporção p é menor que 0,40 (40%). Use um teste de hipótese adequado para decidir (α = 0,01) se esse capacete é aceitável.
(c)
Usando a estimativa da proporção obtida na amostra como sendo o verdadeiro valor da proporção p, calcule um novo tamanho de amostra de capacetes a serem testados para que a verdadeira proporção seja estimada com uma margem de erro de 0,025.
(d)
Quanto deveria ser o novo tamanho da amostra no item anterior para que a margem de erro fosse de no máximo 0,025 independentemente do valor da verdadeira proporção?

Solução:

X : defeito
X ~ Ber(p)
pˆ ~ N(p,p(1- p)
--------
   n)
n = 50ˆp = 1850 = 0,36
(a)
IC assintótico:
ˆp± z∘ ------
  p(1--p)
    n-→0,36 ± 1,96∘ ----------
   0,36⋅(1--0,36)-
       50-→0,36 ± 0,133-→(0,227,0,493)
ou para IC conservador:
0,36 ± 1,96∘ ----
  41⋅50-→0,36 ± 0,139-→(0,221,0,499)
(b)
H0 : p 0,40 (não aceitável) vsH0 : p < 0,40 (aceitável)
α = 0,01RC : {z > -2,326}
zc = 0,36---0,40-
∘ 0,40(1-0,40)
      50 = -0,577
valor-p = 0,28185
Conclusão: zc∕∈RC ou valor-p > α(0,01). Não rejeita-se H0 para o nível de significância de 1%, ou seja, não há evidências suficientes de que a proporção seja inferior a 40% e o capacete é considerado não aceitável.
(c)
z∘ ------
  pˆ(1- ˆp)
    n = 0,025-→n = z2ˆp(1- ˆp)
 0,0252 = 1,962(0,36)(0,64)
    0,0252 = 1417
(d)
z∘ ---
  -1
  4n = 0,025-→n = --z2-2
4⋅0,025 = -1,9622
4⋅0,025 = 1537

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5.
Estimação e estimadores:
(a)
encontre a expressão do estimador de mínimos quadrados the β no modelo para uma v.a. Y em que yi = βxi + ϵi.
(b)
encontre a expressão do estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro λ da distribuição de Poisson. Encontre a estmativa de λ para uma amostra que forneceu os seguintes valores:
 9  15  13  10  9  8  7  5  6  8  9

Solução:

(a)
Q(β) = i=1nϵ i2 = i=1n(y i - βxi)2
dQ(β-)
 dβ = 0 -→ i=1n(-2x i)(yi -ˆβ xi) = 0-→ i=1nx iyi -  ˆβ i=1nx i = 0
 ˆ
β = ∑
--ni=1xiyi
 ∑n   x2
   i=1  i
(b)
X ~ P(λ)
P[X = x] = e-λλx
------
 x!
l(λ) = log i=1nP[X = x i] = i=1n log {P [X  = xi]} =
= i=1n(- λ + xilog(λ)- log(xi!)) = -+ log(λ) i=1nx i - i=1n log(x i!)
dl(λ)
-dλ-- = 0 -→- n + ∑ni=1 xi
---ˆ----
  λ = 0-→ˆλ = ∑ni=1 xi
---n---- = x
Para os dados da amostra a estimativa é:
x = 9