CE-003: Estatística II, 2a Prova - 2o semestre 2011 (24/11/2011)


  1. Acredita-se que numa certa população, 20% de seus habitantes sofrem de algum tipo de alergia e são classificados como alérgicos para fins de saúde pública. Sendo alérgico, a probabilidade de ter reação a um certo antibiótico é 0,5. Para os não alérgicos essa probabilidade é de apenas 0,05. Uma pessoa dessa população teve reação ao ingerir o antibótico, qual a probabilidade de:
    a) ser do grupo não alérgico? b) ser do grupo alérgico?

    Solução

    A : alergiaA : não alergiaR : reaçãoR : não reação
    P[A] = 0,20P[R|A] = 0,5P[R|A] = 0,05
    a)P[A|R] = P[ ¯A-∩R-]
 P [R ] = -------P-[R-|A ¯]⋅P-[A ¯]----
P [R |A ¯]⋅P[ ¯A]+ P[R|A]⋅P [A ] = -----0,05⋅0.80-----
0,05⋅0.80+ 0,5⋅0.20 = 0,2857
    b)P[A|R] = 1 - P[A|R] = 0,7143
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  2. Seja X uma variável aleatória com densidade f(x) = κx2I[-1,1](x).
    1. Determine o valor da constante κ.
    2. Calcule P(|X| > 12).
    3. Ache o valor de A tal que F(A) = P(X A) = 14.
    4. Calcular E(X).

    Solução

    1. -11f(x)dx = 1-→κ = 32
    2. P(|X| > 12) = P(X < -12) + P(X > 12) = -1-12f(x)dx + 12-1f(x)dx = 0,875
    3. -1Af(x)dx = 14-→A = -13√-
 2 = -0,7937
    4. E(X) = -11x f(x)dx = -11(32)x3dx = 0

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  3. Laminas de metal apresentam defeitos no cromado, segundo uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,8 defeito por m2. Essas laminas são usadas para construção de janelas para uma instalação industrial cuja dimensões são de 150 × 200 cm.
    1. Qual o número esperado de falhas por janela?
    2. Qual a probabilidade de uma janela não apresentar defeito?
    3. Sabendo que uma janela tem defeito(s) qual a probabilidade de ter mais que um defeito?
    4. Em um grupo 10 dessas janelas qual é a probabilidade de que no máximo 2 delas não tenha nenhum defeito?
    5. Em 500 lotes de 3 janelas, quantos espera-se que não apresentem nenhuma janela com defeito?

    Solução

    X : defeitos por m2
    X ~ P(λX = 0,8)
    Y : defeitos por janela
    Y ~ P(λY = 0,8 1,5 2 = 2,4)
    1. E(Y ) = λY = 2,4
    2. P[Y = 0] = -2,4  0
e-02!,4-- = 0,0907
    3. P[X > 1|X0] = PP[[XX>≥11]] = 1-P[X1-=0P][X-=P0[X]=1-] = 0,7606
    4. Z : número de janelas sem defeito em um grupo de 10
      Z ~ B(n = 10,p = 0,0907)
      P[Z 2] = P[Z = 0] + P[Z = 1] + P[Z = 2] = 0,9449
    5. W : número de janelas sem defeito em um grupo de 3
      W ~ B(n = 3,p = 0,0907)
      500 P[W 1] = 500 (1 - P[W = 0]) = 124

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  4. Um time de futebol tem probabilidade 0,70 de vitórias sempre que joga. Se o time atuar 4 vezes determine a probabilidade de que vença:
    1. todas as 4 partidas.
    2. exatamente 2 partidas.
    3. pelo menos uma partida.
    4. no máximo 3 partidas.
    5. mais da metade das partidas.

    Solução:

    X : número de vitórias em 4 partidas
    X ~ B(n = 4,p = 0.7)
    P[X = x] = (  )
  4
  x0,7x(0.3)n-x
    1. P[X = 4] = 0,2401
    2. P[X = 2] = 0,2646
    3. P[X 1] = 1 - P[X = 0] = 0,9919
    4. P[X 3] = 0,7599
    5. P[X > 2] = P[X = 3] + P[X = 4] = 0,4116 + 0,2401 = 0,6517

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  5. Em uma fábrica, a máquina A produz por dia o triplo de peças que a máquina B e, a máquina C o quádruplo da máquina A. Sabe-se que 6% das peças fabricadas pela máquina A tendem a ser defeituosas, 4% das peças produzidas pela máquina B tendem a ser defeituosas, enquanto 8% de peças defeituosas da máquina C. A produção diária de todas as máquinas é misturada. Extraída uma amostra aleatória (com reposição) de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha:
    1. No máximo duas peças defeituosas?
    2. Entre três e cinco peças defeituosas?
    3. Se uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina A?

    Solução

    P[A] = 316;P[B] = 116;P[C] = 1216
    P[D|A] = 0,06;P[D|B] = 0,04;P[D|C] = 0,08
    pD = P[D] = P[D A] + P[D B] + P[D C] = P[D|A]P[A] + P[D|B]P[B] + P[D|C]P[C] = 0,07375
    X : número de defeituosas em 20 peças
    X ~ B(n = 20,p = 0,07375)
    1. P[X 2] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] = 1
    2. P[3 X 5] = P[X = 3] + P[X = 4] + P[X = 5] = 0
    3. P[A|D] = P[D|A ]P[A]
--P-[D]--- = (0,06)(3∕16)
--0,07375-- = 0,1525

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  6. Um exame de múltipla escolha consiste em 10 questões, cada uma com cinco possibilidades de escolha. A aprovação exige no mínimo 50%. Qual a chance de aprovação, se:
    1. O candidato comparece ao exame sem saber absolutamente nada, apelando apenas para o palpite.
    2. O candidato tem um conhecimento parcial do conteúdo, suficiente para poder eliminar três escolhas, devendo então apenas entre as duas escolhas restantes.

    Solução:

    X : número de questões certas

    1. X ~ B(n = 10,p = 0,2)
      P[X 5] = P[X = 5] + P[X = 6] + + P[X = 10] = 0,0328
    2. X ~ B(n = 10,p = 0,5)
      P[X 5] = P[X = 5] + P[X = 6] + + P[X = 10] = 0,623

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  7. O Departamento de Matemática é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento.
    1. Qual a probabilidade a comissão ser formada somente por homens?
    2. Qual a probabilidade a comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?
    3. O valor esperado e variância do número de mulheres na comissão.
    4. A função de distribuição acumulada.

    Solução:

    X : número de homens na comissão
    X ~ HG(N = 35,n = 3,r = 21)
    P[X = x] = (21)(14 )
-x(335-)x-
   3
    1. P[X = 3] = 21  14
(3)3(35-3)
  (3) = 0,2032
    2. P[X 1] = P[X = 0] + P[X = 1] = 0,3476
    3. 3 - E[X] = 1,2
    4. F[X] = i=0k(21k)( 13-4k)
  (353)

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