CE-003: Estatística II, 3a Prova - 1o semestre 2011 (22/06/2011)


  1. (6,0) Em um procedimento de monitoramento e controle de qualidade da água de uma cidade foram coletadas amostras em diferentes locais e analisados teores de vários elementos e substâncias. Vamos considerar aqui apenas o teor de um dos elementos para o qual foram obtidos os valores listados a seguir.
    23,2  20,3  21,4  25,6  22,7  20,6  25,6  22,4  26,0  23,4  24,3  23,20

    A análise destes dados forneceu um intervalo de confiança (95%) para o teor médio de (22,015;24.435). Neste contexto é importante que os teores sejam razoavelmente homogêneos e há um valor de referência para variabilidade dos teores expresso pela variância de 2,5 unidades. A variância calculada para a amostra é de 3,6275. Nestas situações um teste estatístico de hipótese com nível de significância de 5% é feito para verificar se a variância está ultrapassando o limite adequado. Para este caso o teste forneceu um valor - p de 0,1426. Com base nesta informações responda:

    1. qual a população em questão e a variável aleatória (v.a.)?
    2. qual(ais) é(são) o(s) parâmetro(s) de interesse da distribuição de probabilidades da v.a.?
    3. qual(ais) é(são) o(s) estimador(es) e estimativa(s) deste(s) parâmetro(s) obtida(s) nas análises?
    4. qual(ais) é(são) a(s) distribuições amostrais utilizada(s) nas análises?
    5. qual seria o intervalo de confiança para o teor médio se fosse adotado o nível de 99% ?
    6. quais as hipóteses que são testadas no teste estatístico? (descreva as hipóteses no contexto do problema e formula as hipóteses estatísticas)
    7. qual a estatística de teste utilizada? Qual o seu valor para estes dados?
    8. qual a região crítica?
    9. qual a conclusão do teste de hipóteses e sua consequência para conclusões no contexto do estudo.
    10. quais seriam as conclusões se fosse adotado o nível de significância de 10% ?
    11. em uma nova amostragem deseja-se que a média seja estimada com margem de erro 0,6 unidades para intervalos de confiança de 95%. Qual tamanho de amostra deve ser utilizado neste novo estudo?
    12. cogita-se adotar uma norma segundo a qual se a variância dos teores na amostra estiver acima de 3,5 unidades, é feita uma vistoria detalhada. Neste contexto, quais seriam as interpretações e consequências práticas do erro tipo I e II?
    13. calcule a probabilidade do erro tipo I caso a recomendação seja adotada.

    Solução:

    1. População: elemento de interesse na área, v.a. X: teores do elemento de interesse
    2. X ~ N(μ,σ2). No contexto os parâmetros de interesse para inferência são a média μ e a variância σ2
    3. ˆμ = X = ∑nXi e x = 23.23
      ˆσ2 = S2 = ∑-(Xni--1 ¯X)2 e s2 = 3.6275
    4. Distribuição amostral da média X ~ N(μ,σ2∕n) e da variância      2
(n-12)S--
  σ ~ χn-12
    5.      IC : x¯± t      S∕√n--
               1-α∕2,ν
t0.005,11 =       3.1058
     IC :    [21.52,24.93]
    6. A variância está em níveis aceitaveis vs a variância está acima do aceitável.
      H0 : σ2 2,5 vs H1 : σ2 > 2,5
    7. χc2 = (n-1)S2
--σ20--- = (12-1)3.6275
----2,5---- = 17.412
    8. RC = {χ2 : χc2 > 21.0261} = {S2 : S2 > 4.7787}
    9. Não rejeita-se H0 para α = 0,05 pois p - valor = 0,1426 > α, portanto não há evidência suficiente de que a variância tenha ultrapassado 2,5 (para nível de significância de α = 0,05).
    10. A mesma da anterior pois ainda assim p - valor = 0,1426 > α.
    11. Para σ2 = 2,5:
      ME = z√σ-
 n-→n = z2σ2
0,62 = 14
      Se fosse adotado que σ2 = S2:
      ME = z√σn--→n =  2
z-30.6,62275 = 20.
    12. Erro I: fazer a vistoria quando não é necessário, o que implica em custos desnecessários.
      Erro II: não fazer a vistoria quando é necessário, o que implica em não tomar medidas de controle quando estas são necessárias
    13. P(ErroI) = P(S2 > 3,5|σ2 = 2,5) = P((n-1)S2-
  2,5 > (12-1)3,5-
  2,5) = P(χ2 > 15.4) = 0.1649

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  2. (1,0) Considere uma variável aleatória com distribuição normal de média conhecida μ = a e variância σ2 desconhecida a ser estimada a partir de uma amostra. Obtenha a expressão do estimador de σ2 pelo método da máxima verossimilhança.

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  3. (1,5) Uma população de animais tem peso que se distribui segundo uma distribuição normal de média 600 kg e desvio padrão 100 kg. Um grupo de 10 animais (escolhidos ao acaso) vai ser transportado.
    1. Qual a probabilidade de que um animal selecionado ao acaso tenha peso superior a 700 kg?
    2. Qual a probabilidade que a carga total ultrapasse 7 toneladas?
    3. Qual a probabilidade que a carga fique entre 5,5 e 6,5 toneladas?

    X ~    N (μ = 600,σ2 = 1002)
¯X ~   N(μ = 600,σ2 = 1002∕10 )

    Solução:

    1. P(X > 700) = P(Z > 700--600-
  100) = P(Z > 1) = 0.16
    2. P( i=110Xi > 7000) = P(X > 700) = P(Z > 700-6√00
100∕ 10) = P(Z > 3.162) = 0.00078
    3. P(5500 < i=110Xi < 6500) = P(550 < X < 650) = P(550-√600
100∕ 10 < Z < 650-√600
100∕ 10) = P(-1.581 < Z < 1.581) = 0.89

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  4. (1,5) Em uma pesquisa para verificar se uma população tem conhecimento sobre uma certa legislação são feitas pesquisas periodicamente. Há uma recomendação de que seja lançada uma campanha publicitária se a proporção de pessoas na população com conhecimento sobre a legislação estiver abaixo de 60%. Em uma destas pesquisas foram ser entrevistadas 1500 pessoas das quais 800 mostraram conhecer a legislação.
    1. Quais o intervalo de confiança a 90% e 95% para a proporção da população que conhece a legislação?
    2. Use um procedimento estatístico adequado para dizer se a campanha publicitária deve ou não ser lançada.
    3. Deseja-se reduzir o tamanho da amostra em uma próxima pesquisa para 800 pessoas. Discuta mostrando qual o impacto esperado nos resultados das análises como as feitas nos itens anteriores.

    Solução:

         X :   conhece a legislação
    X ~          B (p)
amostra : n = 1500;∑  xi = 800
    1. ˆp± z∘ p(1--p)-
  --n--
        [1] 0.5077 0.5588
        attr(,"conf.level")
        [1] 0.95

        [1] 0.4997 0.5666
        attr(,"conf.level")
        [1] 0.99
    2. Teste de Hipótese:
            H0  : p ≥ 0.6(campanha  n ão é lançada) vs H1 : p < 0.6(campanha é lançada )

         α           = 0,05 -→  ˆp < 0.579
      zc =          √0,06.5(13-30-,60),6∕1500-= - 5.27

p- valor =                 1e - 07
      Conclusão: Rejeita-se H0 e a campanha deve ser lançada.
    3. Os intervalos de confiança seriam mais largos, as margens de erro seriam 0.035 (95%) e 0.046 (99%). No teste de hipótese a região crítica para α = 0,05 passaria a ser pˆ< 0.572 ou seja, o limite na proporção na amostra deve ser menor para a campanha ser lançada.