CE-003: Estatística II, 1a Prova - 1o semestre 2011 (25/04/2011)


  1. (3,0) Seja a função:
          ({  - (x - 1)2 +1  se 0 ≤ x ≤ 1
f(x) =   (5- 3x)∕2     se 1 < x ≤ 5∕3
      (  0             se x < 0 ou x > 5∕3

    1. verifique que f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) válida
    2. encontre a função de densidade acumulada F(x)
    3. obtenha as seguintes probabilidades:
      • P[X < 0.5]
      • P[X > 1]
      • P[0,7 < X < 1,5]
      • P[X > 0,5|X < 1]
      • P[X > 1,5|X > 1]
    4. obtenha o valor médio
    5. obtenha o 10 quartil (q0,25), a mediana (md) e 30 quartil (q0,75)
    6. Suponha agora que X representa teores de um determinado elemento em amostras de água que determinam o tratamento químico a ser adotado em um volume de água. Se o custo do tratamento é de R$100,00 para teores abaixo de 0,5, R$120,00 para teores entre 0,5 e 1,5 e R$200,00 para teores acima de 1,5%, qual o custo esperado para o tratamento de 1,000 unidades de volume?

    Solução:

    1.   > fx <- function(x) {
        +     y <- ifelse(x >= 0 & x <= 1, -(x - 1)^2 + 1, 0)
        +     y <- ifelse(x > 1 & x <= 5/3, (5 - 3 * x)/2, y)
        +     return(y)
        + }
        > curve(fx, 0, 5/3)

        > all(fx(seq(0, 5/3, l = 1000)) >= 0)

        [1] TRUE

        > integrate(fx, 0, 5/3)

        1 with absolute error < 6.3e-05
    2.       (|    x2-
      {  - 3 (x10(-x-31))-3(x2- 1)  se 0 ≤ x ≤ 1
F(x) = |( 23 + -----4-------  se 1 < x ≤ 5∕3
         0                  se x < 0 ou x > 5∕3

        > Fx <- function(x) {
        +     y <- ifelse(x >= 0 & x <= 1, -((x^2)/3) * (x - 3), 0)
        +     y <- ifelse(x > 1 & x <= 5/3, 2/3 + (10 * (x - 1) - 3 * (x^2 -
        +         1))/4, y)
        +     return(y)
        + }
        > curve(Fx, 0, 5/3)

      PIC

      • P[X < 0.5] = 00,5f(x)dx = F(0,5) = 0.2083
      • P[X > 1] = 153f(x)dx = 1 - F(1) = 0.3333
      • P[0,7 < X < 1,5] = 0,71,5f(x)dx = F(1,5) - F(0,7) = 0.6035
      • P[X > 0,5|X < 1] = P[0,5<X <1]
-P-[X<1]-- = F (1)- F(0,5)
---F(1)-- = 0.6875
      • P[X > 1,5|X > 1] = PP[X[X>>11,5]] = 1-1F-F(1(,51)) = 0.0625
    3. E[X] = 053xf(x)dx = 0.82
      • 0q1f(x)dx = 0,25 ou F(q1) = 0,25-→q1 = 0.55
      • 0q2f(x)dx = 0,50 ou F(q2) = 0,50-→q2 = 0.83
      • 0q3f(x)dx = 0,75 ou F(q3) = 0,75-→q3 = 1.09
    4. Y : custo de tratamento

      y 100120200




      P[Y = y] p1 p2 p3
      p1 = P[X < 0,5] = F(0,5) = 0.21
      p2 = P[0,5 < X < 1,5] = F(1,5) - F(0,5) = 0.77
      p3 = P[X > 1,5] = 1 - F(1,5) = 1 - p1 - p2 = 0.02
      E[Y ] = i=13yiP[Y = yi] = 100p1 + 120p2 + 200p3 = 117.5
      1000 E[Y ] = 117500

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  2. (1,0) Dois estudantes estão matriculados em um certo curso. Sabe-se que o primeiro assiste a 80% das aulas enquanto que o segundo assiste 60%. Sabe-se ainda que a decisão de um deles faltar não é afetada pela do outro.
    1. qual a probabilidade que ao menos um dos estudantes esteja em sala em um determinado dia?
    2. se o segundo estudante está em sala em um dia, qual a probabilidade do primeiro também estar?

    Solução:

    A : primeiro assiste B : segundo assiste
    P[A] = 0,80 P[B] = 0,60
    A &B independentes
    1. P[A B] = P[A] + P[B] - P[A B]in=dP[A] + P[B] - P[A] P[B] = 0,8 + 0,6 - (0,8)(0,6) = 0.92
    2. P[A|B]ind
=P[A] = 0,8

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  3. (2,0) Oito animais são capturados, marcados e devolvidos ao ambiente natural no qual há uma população de 50 indivíduos desta espécie. Após algum tempo retorna-se ao local para estudar a população e considera-se diferentes estratégias. Fazendo suposições adequadas (como por exemplo, que a população não se alterou) avalie as probabilidades nos seguintes cenários.
    1. Captura-se e prende-se animais até encontrar o primeiro marcado. Qual a probabilidade de encontrar algum marcado em até três (3) capturas?
    2. Idem anterior mas sendo cada animal capturado avaliado e imediatamente solto.
    3. No esquema de capturar e soltar, quantas capturas espera-se fazer até encontrar o primeiro animal marcado?
    4. Ainda no esquema de capturar e soltar, pretende-se agora capturar animais até encontrar o terceiro marcado. Qual a probabilidade de serem necessárias mais do que seis (6) capturas?
    5. Decide-se capturar exatamente seis (animais). Qual a probabilidade de encontrar algum (ao menos um) animal marcado?

    Solução:

    1. P[1a] + p[2a] + P[3a] = 580 + 4250- 849 + 4520 4149- 848 = 0.4143
    2. X : número de não marcados até 1o marcado X ~ G(p = 850) P[X 2] = x=02(4250)2(850) = 0.4073
    3. 1 + E[X] = 1 + 1-pp = 1p = 6.25
    4. X : número de não marcados até 3o marcado X ~ BN(3,p = 850) P[X > 3] = 1 - P[X 3] = x=03(x+3-1)
  3-1(4250)x(850)3 = 0.944
    5. X : número de marcados em 6 animais X ~ HG(N = 50,K = 8,n = 6) P[X 1] = 1 - P[X = 0] = 1 -8  50-8
(0)((660-)0)
   6 = 0.6699

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  4. (1,0) Uma certa enciclopédia eletrônica possui, em média, 1,7 erros por página. Acessa-se (ao acaso) uma página desta enciclopédia e deseja-se saber a probabilidade desta página não conter erros. Identifique a variável aleatória, uma distribuição de probabilidades adequada e calcule a probabilidade de interesse.

    Solução:

    X : número de erros por página
    X ~ P(λ = 1,7)-→P[X = x] = e--λλx
  x!
    P[X = 0] = e--1,71,70-
   0! = 0.1827
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  5. (2,0) Em um certo exame os estudantes do um curso possuem escore médio de 625 com variância de 2500.
    1. Qual a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso possuir escore acima de 700?
    2. Qual a porcentagem esperada de estudantes com escore entre 600 e 700?
    3. Qual o escore que apenas 10% dois estudantes estão acima dele?
    4. Tomando-se agora o escore de dois (2) estudantes escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de que a soma dos escores
      • não seja inferior 1200?
      • esteja entre 1200 e 1300?

    Solução:

    X : escore no exame
    X ~ N(625,2500)
    1. P[X > 700] = P[Z > 700-56025] = P[Z > 1.5] = 0.0668
    2. P[600 < X < 700] = P[600--625
  50 < Z < 700-625
  50] = P[-0.5 < Z < 1.5] = -0.6247-→- 62.47% dos estudantes
    3. z0,90 = 1.28155-→z0,90 = q0,90-μ
   σ-→q0.90 = 689.1
    4. X1 + X2 ~ N(1250,5000)
      • P[X1 + X2 > 1200] = P[Z > 120√0-1250-
   5000] = P[Z > -0.707106781186547] = 0.7602
      • P[1200 < X < 1300] = P[120√0-1250-
  5000 < Z < 130√0-1250-
  5000] = P[-0.71 < Z < 0.71] = -0.5205

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  6. (1,0) Um novo teste é desenvolvido para detectar um tipo de câncer. Se aplicado a uma pessoa com este tipo de câncer, a probabilidade do teste apresentar uma reação positiva é de 0,95. Quando aplicado a uma pessoa sem o câncer ainda existe uma probabilidade de 0,03 de um resultado positivo. Suponha ainda que sabe-se que na população uma a cada 50.000 pessoas tem este tipo de cancêr. Se uma pessoa escolhida ao acaso é testada e apresenta resultado positivo, qual a probabilidade de que esta pessoa tenha tal tipo de câncer?

    Solução:

    C : câncerT : teste positivo
    P[T|C] = 0,95P[T|C] = 0,03P[C] = 150000
    P[C|T] = P [C ∩ T]
--P-[T]-- =       P[C]P[T|C]
P[C]P[T|C]+-P-[C¯]P-[T-|¯C-] =           (1∕50000)(0,95)
(1∕50000)(0,95)+-(49000∕50000)(0,03) = 0.00065