CE-003: Estatística II, 2a Prova - 2o semestre 2010 (27/10/2010)

  1. (2,0 pts) Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto vegetal. Foram coletadas duas amostras referentes a dois métodos de produção.















    Método 1:0.92.59.23.23.71.31.22.43.68.33.12.82.5
    Método 2: 5.36.35.53.64.12.72.01.55.13.55.76.24.1














    1. faça um único histograma de todos os dados, agrupando os dois métodos
    2. faça um único diagrama ramo-e-folhas de todos os dados, agrupando os dois métodos
    3. calcule a média, variância e coeficiente de variação para cada método
    4. faça gráficos box-plot para comparar os métodos
    5. compare os métodos baseando-se nos resultados dos ítens anteriores

    Solução:

    1. histograma (algumas opções)


      PIC

    2. algumas opções de ramo-e-folhas
          The decimal point is at the |
        
          0 | 9
          1 | 235
          2 | 045578
          3 | 125667
          4 | 11
          5 | 1357
          6 | 23
          7 |
          8 | 3
          9 | 2
          The decimal point is at the |
        
          0 | 9
          1 | 23
          1 | 5
          2 | 04
          2 | 5578
          3 | 12
          3 | 5667
          4 | 11
          4 |
          5 | 13
          5 | 57
          6 | 23
          6 |
          7 |
          7 |
          8 | 3
          8 |
          9 | 2
    3.              Método 1  Método 2
        média      3.438462  4.276923
        variância  6.364231  2.461923
        cv        73.368356 36.686459
    4. faça gráficos box-plot para comparar os métodos


      PIC

    5. Aspectos a serem comentados:
      • comparação das medidas de posição (tendência central dos dados)
      • comparação as homnogeneidades dos grupos
      • coeficientes de variação comparando variabilidades de grupos com médias diferentes

      Outros possíveis comentários

      • assimetria
      • presença (ou não) de dados discrepantes

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  2. (1,5 pts) Foram coletados dados de uma medida de produtividade de 40 funcionários da linha de produção de 2 fábricas. A figura mostra os boxplot obtidos dos dois grupos. Discuta o gráfico comparando os dois grupos.


    PIC

    Solução:
    Aspectos a serem incluídos nos comentários:
    O grupo 1 apresenta menor valor de medida de tendência central (mediana) e maior variabilidade (amplitude interquartílica), apresentando ainda uma leve assimetria. O grupo 2 é mais homogêneo, porém apresenta 3 dados atípicos. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  3. (1,5 pts) Na companhia A, a renda média de vendedores é 10.000 unidades e o 3o quartil é 5.000 unidades.
    1. Se voce se apresentasse como candidato a vendedor e se sua renda fosse definida ao acaso entre todos as possíveis rendas, o que seria mais provável: ganhar mais ou menos que 5.000 unidades?
    2. Suponha que na companhia B a média das rendas seja 7.000 unidades, a variância muito pequena e a reanda também seja definida ao acaso. Em qual companhia voce se apresentaria para procurar emprego?

    Solução:
    As respostas serão analisadas segundo a argumentação. Pontos a serem considerados:

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  4. (1,5 pts) Os escores obtidos em um exame de proficiência se distribuem segundo a distribuição normal com média 400 e desvio padrão 45.
    1. qual a percentagem de pessoas com escores acima de 350?
    2. qual a percentagem de pessoas com escores entre 450 e 500?
    3. qual a percentage de pessoas com escores que não se afastem da média mais do que 30?
    4. qual valor deve ter 80% dos escores abaixo dele?
    5. mantendo-se a mesma média, quanto deveria ser o desvio padrão ter 10% dos escores acima de 500?

    Solução:

    X : escores no exame e proficiência
    X ~ N(400,452)
    1. P[X > 350] = 0.1201-→86.67%
    2. P[450 < X < 500] = 0.1201-→12.01%
    3. P[|X - 400| < 30] = P[370 < X < 430] = 0.495-→49.5%
    4. P[X < a] = 0,8-→a = 437.9
    5. P[X > 500|μ = 400] = 0,1-→σ = 78

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  5. (2,0 pts) Uma empresa de televisores garante a restituição da quantia paga para aparelhos que apresentar algum defeito grave no prazo de seis meses. A empresa produz aparelhos do tipo A (comum), e do tipo B (luxo), com lucro de R$ 1.000,00 e R$2.000,00 respectivamente, se não houver devolução, e com prejuízo de R$3.000,00 e R$8.000,00 respectivamente, se houver devolução. Suponha que o tempo para ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos uma variável aleatória com distribuição normal, respectivamente com médias de 9 e 12 meses e variâncias 4 e 9 meses.
    1. Qual a probabilidade de haver devolução para cada um dos modelos?
    2. Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa, voce incentivaria a venda do tipo A ou do tipo B. Justifique apresentando cálculos adequados.
    3. De quanto deveria ser o tempo médio para apresentar defeito grave do modelo B para que a probabilidade de devolução fosse a mesma do tipo A? (suponha variâncias e média do tipo A inalteradas.)
    4. Com as médias e variância do modelo A originais, quanto deveria ser o desvio padrão dos aparelhos do tipo B para que os modelos tivessem o mesmo lucro esperado?

    Solução:

    XA : tempo para o modelo A apresentar defeito grave;XA ~ N(9,4)
    XB : tempo para o modelo B apresentar defeito grave;XB ~ N(12,9)
    1. P[XA < 6] = P[Z < 6--9-
  2] = P[Z < -1.5] = 0.0668
      P[XB < 6] = P[Z < 6-- 12
  3] = P[Z < -2] = 0.0228
    2. L1 : lucro com M1L2 : lucro com M2

      l1 -3000 1000



      P[L1 = l1]p1 = P(XA < 6) = 0.06681 - p1 = 0.9332
           
      l2 -8000 2000



      P[L2 = l2]p2 = P(XB < 6) = 0.02281 - p2 = 0.9772

      E(L1) = (1 - p1)(1000) + p1(-3000) = 732.8
      E(L2) = (1 - p2)(2000) + p2(-8000) = 1772.5
    3. z = -1.5 = 6-μB-
  3-→μB = 10.5
    4. E(L2) = E(L1) = 732.8
      (1 - p2)(2000) + p2(-8000) = 732.8
      p2 = P[XB < 6] = (1 - p2)(2000) + p2(-8000) = (2000 - 732.8)10000
      z = -1.14 = 6- 12
-σ----
  B
      σB = 5.3

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  6. (1,5 pts) Uma editora envia livros de divulgação com caixas com três unidades. O peso dos livros tem distribuição normal de média 400 gramas e desvio padrão de 60 gramas e a caixa pesa 200 gramas. Se os livros são escolhidos ao acaso calcule:
    1. a probabilidade de que uma caixa a ser enviada pese mais que 1,5 quilos;
    2. o custo esperado para envio de 1.000 caixas sabendo-se que paga-se R$5,00 para caixas acima de 1,5 quilos, R$3,00 para caixas entre 1,25 e 1,5 quilos, e R$ 2,00 para caixa abaixo de 1,25 quilos.

    Solução:

    XA : peso do livro;XA ~ N(400,602)
    XB : peso da embalagem;XB = 200
    XC : peso da caixa com 3 livros;XB ~ N(μc = E(XC)c2 = V (X c))
    E(Xc) = E(3XA + 200) = 3E(XA) + 200 = 1400;V (Xc) = 32V (X a) = 32602
    1. P[Xc > 1500] = P[Z > 1500-1801400] = P[Z > 0.56] = 0.2893
    2. C : custo por caixa




      c 2,003,005,00




      P[C = c] p1 p2 p3




      p1 = P[C < 1250] = P[Z < 1250--1400
    180] = P[Z < -0.83] = 0.2023
      p2 = P[1250 < C < 1500] = P[1250---1400
    180 < Z < 1500---1400
    180] = P[-0.83 < Z < 0.56] = 0.5084
      p3 = P[Xc > 1500] = 0.2893
      1000E[C] = 2,00p1 + 3,00p2 + 5,00p3 = 3376.19

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