CE-003: Estatística II, 1a Prova - 2o semestre 2010 (22/09/2010)


  1. (15 pts) Um dispositivo eletrônico é formado por três partes. Cada parte tem probabilidade de 0,9 de funcionar bem e 0,1 de falhar. O funcionamento de cada parte não depende das demais. O dispositivo falha se duas ou mais falham. Calcule a probabilidade de falha do dispositivo.

    Solução:

    X : número de componentes que falham
    X ~ Bin(n = 3,p = 0.1)
    P[X 2] = P[X = 2] + P[X = 3] = 0.028

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  2. (20 pts) Seja uma variável aleatória X com f.d.p. f(x) = |1 - x|I(0,2)(x). Obtenha:
    1. A função de distribuição (acumulada) de X
    2. P(X > 12)
    3. P(X < 14)
    4. P(X < 23|X > 12)

    Solução:

    1. F(x) 0xf(x)dx = [x - x22 ]I[0,1)(x) + [1 - (x - x22 )]I[1,2)(x)

        > par(mfrow = c(1, 2), mar = c(3, 3, 0.5, 0.5), mgp = c(1.7, 1,
        +     0))
        > fx <- function(x) ifelse((x > 0) & (x < 2), abs(1 - x), 0)
        > curve(fx, -0.25, 2.25, xlab = "x", ylab = "f(x)")
        > Fx <- function(x) {
        +     res <- ifelse(x < 0, 0, 1)
        +     res <- ifelse((x >= 0) & (x < 1), x - x^2/2, res)
        +     res <- ifelse((x >= 1) & (x < 2), 1 - (x - x^2/2), res)
        +     return(res)
        + }
        > curve(Fx, -0.25, 2.25, xlab = "x", ylab = "F(x)")
        > integrate(fx, 0, 2)$value
        [1] 1

      PIC

    2. P(X > 12) = 122f(x)dx = 1 - F(12) = 0.625
    3. P(X < 14) 014f(x)dx = F(14) = 0.2188
    4. P(X < 23|X > 12) = P[1∕2<X-<2∕3]
  P[X >1∕2] = ∫
-21∕∕32 f(x)dx
 ∫12∕2f(x)dx = F-(2∕3)-F-(1∕2)
  1-F (1∕2) = 0.1111

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  3. (20 pts) Alguns historiadores atribuem como marco do inícios do estudo de probabilidades a sequencia de correspondências trocadas entre Blaise Pascal e Pierre de Fermat em 1654. Os dois resolveram um problema que ficou conhecido como o Dilema de Chevalier, em referência a um aristocrata e também compulsivo jogador e apostador chamado Chevalier de Mere.

    Chevalier estava interessado no número de lançamentos de dois dados que deveriam que ser realizados para se obter um par de seis. Neste problema indique como seriam feitos os cálculos necessários(não é preciso fazer as contas, apenas indicá-las) para se obter:

    1. a probabilidade de se obter o par de 6 com no máximo 10 lançamentos
    2. a probabilidade de não se obter o par de seis em 30 lançamentos
    3. O número esperado de lançamentos para se obter o par de seis
    4. O número de lançamentos para que a probabilidade de se obter ou não um par de seis fosse aproximadamente iguais

    Solução:

    X : número de fracassos até obter um par de seis
    X ~ G(p = 136)
    1. P[X 9] = k=09(1 - 136)k (136) = 0.24551
    2. P[X > 30] = 1 - P[X 30] = 1 - k=030(1 - 136)k (136) = 0.41757
    3. E[X] + 1 = (1--p)-
  p + 1 = (1-1∕36)
  1∕36 + 1 = 35 + 1 = 36
    4. P[X K] 0, 5-→K = 24 (25 tentativas)

    Comandos do R para resultados:

      > pgeom(9, p = 1/36)
      [1] 0.2455066
      > pgeom(30, p = 1/36, low = F)
      [1] 0.4175725
      > (1 - 1/36)/(1/36) + 1
      [1] 36
      > x <- 0:50
      > x[which.min(abs(pgeom(x, p = 1/36) - 0.5))]
      [1] 24

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  4. (15 pts) Em um estudo com usuários de internet nos EUA, pesquisadores descobriram que 80% dos usuários possuem ao menos um computador e que 25% dos usuários se conectavam a internet mais que 30 horas por semana. (Internet research, 11, 2001). Suponha que 15% dos usuários possuem ao menos um computador e se conectam a internet por mais que 30 horas por semana.
    1. qual a probabilidade de que um usuário se conecte por mais que 30 horas por semana, sabendo que possui ao menos um computador?
    2. Se um usuário se conecta a internet por mais que 30 horas por semana, qual a probabilidade de que possua ao menos um computador?

    Solução:

    C : possui ao menos um computador; N : seL conecta mais que 30 hrs
    P[C] = 0, 80; P[N] = 0, 25; P[C N] = 0, 15
    1. P[N|C] = P-[N-∩C]
  P[C ] = 0,15
0,80 = 0.1875
    2. P[C|N] = P-[N-∩C]
  P[N ] = 0,15
0,25 = 0.6

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  5. (15 pts) A rede local de área (LAN - local area network) está sem conexão em um certo momento. Interrupções anteriores no serviço possuem como causas falhas de hardware, software e problemas de energia. Engenheiros de manutenção verificaram que as probabilidade de falhas por estas causas são de 0,01; 0,05 e 0,02, respectivamente. Também verificou-se que se o sistema apresenta problemas de hardware, ele interrompe serviços em 73% das vezes. Da mesma forma o serviço é interrompido em 12% das vezes que ocorre falha de software e 88% das vezes que ocorre falha de energia. Qual a probabilidade de que a falha que está ocorrendo seja devida a cada uma das três causas?

    Solução:

    C1 : falha por hardware; C2 : falha por software; C3 : falha por energia
    I : sistema interrompe
    P[C1] = 0, 01; P[C2] = 0, 05; P[C3] = 0, 02
    P[I|C1] = 0, 73; P[I|C2] = 0, 12; P[I|C3] = 0, 88
    P[I] = P[C1 I] + P[C2 I] + P[C3 I] =
    = P[C1] P[I|C1] + P[C2] P[I|C2] + P[C3] P[I|C3] = 0.0324
    P[C1|I] = P-[C1-] ⋅ P-[I-|C1-]
     P [I] = 0,01-⋅ 0,73-
  0.0324 = 0.2253
    P[C2|I] = P [C  ] ⋅ P [I |C2 ]
----2----------
     P [I] = 0,05 ⋅ 0,12
-----------
  0.0324 = 0.1852
    P[C3|I] = P [C3 ] ⋅ P [I |C3 ]
---------------
     P [I] = 0,02 ⋅ 0,88
-----------
  0.0324 = 0.5432

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  6. (15 pts) Um homem possui em seu chaveiro 10 chaves das quais somente uma abre a porta que deseja abrir experimentando as chaves ao acaso. Determine o número esperado de tentativas se:
    1. as chaves incorretas são descartadas após cada tentativa e não mais selecionadas;
    2. as chaves incorretas não são descartadas, podendo ser escolhidas novamente.

    Solução:

    1. X : número de tentativas
      x 1 2 3 10






      P[X = x](1/10)(9/10)(1/9) = 1/10(9/10)(8/9)(1/8) = 1/101/10
      X ~ Ud(110)P[X = x] = (110)
      E[X] = max-(x)---min-(x)-
        2 = 5, 5
    2. X : tentativas falhas até conseguir abrir
      X ~ Geo(p = 0.1)
      E[X] = (1 --p)
   p = (1---1∕10)-
   1∕10 = 9 falhas e portanto, 10 tentativas

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