CE-003: Estatística II, 1a Prova - 2o semestre 2010 (22/09/2010)


  1. (1,5 pts) Um dado é viciado de forma que um número par é duas vezes mais provável que um número impar. Encontre a probabilidade de que em um lançamento:
    1. um número par ocorra;
    2. um número primo ocorra;
    3. número primo par ocorra.

    Solução:








    x 1 2 3 4 5 6







    P(X=x)1/92/91/92/91/92/9







    1. P(X = 2 X = 4 X = 6) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) = 69 = 0, 667
    2. P(X = 2 X = 3 X = 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 5) = 49 = 0, 444
    3. P(X = 2) = 29 = 0, 222

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  2. (1,5 pts) Considere um experimento que consiste em contar o número de partículas alfa emitidas por segundo, por um grama de material radioativo. Sabe-se por experiências passadas que, em média, 2,3 de tais partículas são emitidas por segundo. Faça as suposições razoáveis e necessárias e determine a probabilidade de que não mais que 3 partículas alfa seja emitidas em um intervalo de 2 segundos.

    Solução:

    X : número de partículas em dois segundos
    X ~ Poi(λ = 4, 6)
    P[X 3] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] = 0.3257

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  3. (2,0 pts) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolha é p. Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe ao acaso uma das m respostas possíveis.
    1. qual a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão?
    2. se o aluno respondeu corretamente a questão, qual a probabilidade de que tenha chutado a resposta?

    Solução:
    S : sabe; S : não sabe; A : acerta; A : não acerta

    1. P[A] = P[A S] + P[A S] = P[S] P[A|S] + P[S] P[A|S] = p(1) + (1 - p)(1∕m) = p(m -1)+1
---m----
    2. P[S|A] = P[¯S∩A]
 P[A] = P[¯S]⋅P-[A|¯S]
  P [A] = --(1-p)∕m----
(p(m- 1)+1)∕m = ---1-p--
p(m- 1)+1

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  4. (2,0 pts) Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida (em unidades de 1000 horas) que é considerado uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade f(x) = e-xI (0,+)(x). Suponha também que o custo de fabricação de um item seja de R$ 2,00 e o preço de venda seja de R$5,00. O fabricante garante a devolução total do dinheiro se x 0, 9. Qual o lucro esperado do fabricante em 10.000 itens a serem produzidos?

    Solução:

    X : tempo de vida
    X ~ Exp(λ = 1)
    Y : lucro por item
    y -2,00 3,00



    P[Y = y]P[X < 0, 9] = 0.59343P[X 0, 9] = 0.40657

    10, 000 E[X] = 10000(-2(0.59343) + 3(0.40657)) = 328.48

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  5. (1,5 pts) Uma construtora emprega 3 engenheiros de avaliação e venda. Cada um deles estima 30, 20 e 50% das avaliações de custos de construção da companhia. A probabilidade de cada um deles cometer um erro sério de avaliação são de 0,01; 0,03 e 0,02; respectivamente. Se um custo foi estimado com erro sério, qual dentre os engenheiros é o mais provável de ter feito a avaliação Responda calculando e comparando as chances do erro ter sido de cada um deles.

    Solução:

    I : engenheiro 1 avalia; II : engenheiro 2 avalia; III : engenheiro 3 avalia
    E : erro é cometido
    P[I] = 0, 30; P[II] = 0, 20; P[III] = 0, 50
    P[E|I] = 0, 01; P[E|II] = 0, 03; P[E|III] = 0, 02
    P[E] = P[E I] + P[E II] + P[E III] =
    = P[E|I] P[I] + P[E|II] P[II] + P[E|III] P[III] =
    = (0, 01)(0, 30) + (0, 03)(0, 20) + (0, 02)(0, 5) = 0.019
    P[I|E] = P[E |I ] ⋅ P [I]
-------------
   P [E ] = 0.1579
    P[II|E] = P[E-|II-] ⋅ P-[II-]
     P[E ] = 0.3158
    P[III|E] = P[E-|III-] ⋅ P-[II]
     P [E ] = 0.5263
  6. (1,5 pts) O retrospecto mostra que um jogador de basquete tem uma probabilidade de 0,75 de acertar um lance livre. Se este jogado vai arremessar 5 lances livres qual a probabilidade de acertar:
    1. todos
    2. nenhum
    3. pelo menos 3

    Solução:

    X : número acertos
    X ~ Bin(n = 5,p = 0, 75)
    1. P[X = 5] = (0, 75)5 = 0.2373
    2. P[X = 0] = (0, 25)5 = 0.001
    3. P[X 3] = P[X = 3] + P[X = 4] + P[X = 5] = 0.8965

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