CE-003: Estatística II, Prova Final - 1o semestre 2010 (05/07/2010)


  1. Em um estudo sobre obesidade foi coletado uma amostra de 102 adultos onde registrou-se o sexo, a razão entre o peso do indivíduo e o peso ideal segundo uma tabela e o valor da pressão sistólica (bp). Os dados tem o formato dado a seguir. Descreva detalhadamente os tipos de da variáveis disponíveis e como seriam feitas análise exploratórias/descritivas uni e bivariadas destes dados, comentando sobre as possíveis questões de interesse, o que se observaria nas análises, o que poderia ser calculado, etc.
    Id sex razão  bp  || Id sex razão  bp  ||  Id sex razão  bp  ||  Id sex razão  bp  
    1   0  1.31  130  || 39    0  1.16 134 ||  79    1  1.37 148 ||  97    1  1.24 112  
    2   0  1.31  148  || 40    0  1.57 144 ||  80    1  1.67 162 ||  98    1  1.28 126  
    3   0  1.19  146  || 41    0  1.07 116 ||  81    1  1.03 128 ||  99    1  1.75 138  
    4   0  1.11  122  || 42    0  1.04 118 ||  82    1  1.32 108 || 100   1  2.20 136  
    5   0  1.34  140  || 43    0  1.37 118 ||  83    1  1.56 116 || 101   1  1.64 136  
    6   0  1.17  146  || 44    0  1.26 132 ||  84    1  1.33 104 || 102   1  1.73 208  
    ...               || ...               ||  ...               ||

    Solução: serão avaliadas as respostas. Espera-se que sejam citados:
    Análises univariadas:

    Análises bivariadas:

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  2. (Andrade e Ogliari, 2007) Um estudo de uma tribo no Brasil revelou que 75% dos seus integrantes tinham sangue tipo A, e o restante tinha sangue tipo O; 60% de toda a população tinha fator RH-, enquanto que 30% tinha sangue tipo A com RH+. Usando estas informações encontre a probabilidade que um membro da tribo tenha:
    1. sangue tipo A ou RH+
    2. sangue tipo A e RH-
    3. RH+ mas não sangue do tipo A
    4. sangue tipo O e RH-

    Solução: dados:

    P [A ] = 0,75;P [O ] = 0,25;P [- ] = 0,60;P [A ∩ + ] = 0,30
    1. P[A +] = 0, 85
    2. P[A ∩-] = 0, 45
    3. P[+ A] = 0, 10
    4. P[O ∩-] = 0, 15
    A O Total




    RH+0,300,10 0,40
    RH-0,450,15 0,60




    Total0,750,25 1

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  3. (B & M, 2002) O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma v.a., de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro de um anel diferir da média em mais que 0,03 cm ele é vendido por R$5,00; caso contrário, é vendido por R$10,00. Qual o preço esperado de venda de um lote de 500 anéis?

    Solução:

    X : diâmetro do anel
    X ~ N(μ = 0, 10; σ2 = 0, 022)
    Y : preço da peça
    y1 = 5 com probabilidade (1 - p) e y2 = 10 com probabilidade p
    Y ~ B(p = P[|X - μ| < 0, 03])
    p = P[|X - μ| < 0, 03] = P[0, 07 < X < 0, 13] = P[0,07---0,10-
   0,02 < Z < 0,-13 --0,10
    0,02] = 0.8664
    Preço esperado = 500 E[Y ] = 500 Y i P[Y = yi] = 500 [5 (1 - p) + 10 p] = 4665.96

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  4. (B & M, 2002) A precipitação pluviométrica anual numa numa certa região tem desvio padrão σ = 3, 1 e média desconhecida. Para os últimos nove anos, foram obtidos os seguintes resultados:
      30,5   34,1   27,9   35,0   26,9   30,2   28,3   31,7   25,8.
    1. Construa um teste de hipótese para saber se a média da precipitação pluviométrica anual é maior que 30,0 unidades.
    2. Discuta o mesmo problema porém considerando σ desconhecido.
    3. Supondo que, na realidade, μ = 33, 0 qual a probabilidade de tirarmos uma conclusão errada?

    Solução:

      > prec <- c(30.5, 34.1, 27.9, 35, 26.9, 30.2, 28.3, 31.7, 25.8)
      > n <- length(prec)
      > (m.prec <- mean(prec))
      [1] 30.04444
      > (dp.prec <- sd(prec))
      [1] 3.152821
    1.   > (p.valor <- 1 - pnorm(m.prec, mean = 30, sd = 3.1/sqrt(n)))
        [1] 0.4828465
    2.   > t.test(prec, conf = 0.95, alt = "greater", mu = 30)
         One Sample t-test
        
        data:  prec
        t = 0.0423, df = 8, p-value = 0.4837
        alternative hypothesis: true mean is greater than 30
        95 percent confidence interval:
         28.09017      Inf
        sample estimates:
        mean of x
         30.04444
    3. P[X∕∈RC|μ = 33] = P[X < Xc|μ = 33] :
        > (tc <- qt(0.95, df = n - 1))
        [1] 1.859548
        > (xbc <- 30 + tc * (dp.prec/sqrt(n)))
        [1] 31.95427
        > pt((xbc - 33)/(dp.prec/sqrt(n)), df = n - 1)
        [1] 0.1744288

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  5. Seja a função f(x) = k(1 + 2x) para 0 < x < 2.
    1. qual deve ser o valor de k para que f(x) seja função de densidade de probabilidade?
    2. encontre o percentil 30 desta dstribuição.

    Solução:

    1. 02k(1 + 2x)dx = 1 k = 16
    2. 0P3016(1 + 2x)dx = 0, 30 P 30 = 0.93

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