CE-003: Estatística II, 3a Prova - 1o semestre 2010 (23/06/2010)


  1. O tempo de processamento de certo tipo de requisição tem distribuição normal com média de 10 segundos e variância de 4 segundos. Sob as suposições convenientes, qual a probabilidade de que uma sequência de 9 requisições tenha duração superior a 91 segundos?

    Solução:

    X ~ N(μx = 10x2 = 4)
    n = 9
    X ~ N(μx = 10x2 = 49)
    P[X > 919] = P[Z > (91∕∘9)--10-
    4∕9] = 0.4338

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  2. Uma amostra de uma população forneceu os seguinte valores:
     216  237  249  204  225  301  281  263  318  255  275  295.
    Faça as suposições necessárias e obtenha:
    1. intervalos de confiança para o valor médio de 90 e 95%
    2. intervalos de confiança para a variância 90 e 95%

    Solução:

      > am <- c(216, 237, 249, 204, 225, 301, 281, 263, 318, 255, 275, 295)
      > n <- length(am)
      > t.test(am, conf = 0.9)$conf.int
      [1] 241.5 278.4
      attr(,"conf.level")
      [1] 0.9
      > t.test(am, conf = 0.95)$conf.int
      [1] 237.3 282.5
      attr(,"conf.level")
      [1] 0.95
      > ((n - 1) * var(am))/qchisq(c(0.95, 0.05), df = n - 1)
      [1]  707.3 3042.1
      > ((n - 1) * var(am))/qchisq(c(0.975, 0.025), df = n - 1)
      [1]  634.9 3647.2

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  3. Em um estudo foram examinados 1000 processos dos quais 740 resultaram em algum tipo de erro.
    1. Obtenha um intervalo de confiança (95%) para taxa de erros.
    2. Qual deveria ser o tamanho da amostra para que a margem de erro no intervalo anterior fosse de, no máximo, 0,03 ?

    Solução:

    X : erro
    X ~ B(p)
    pˆ ~ N(p,p(1 - p)∕n)
      > p.est <- 740/1000
      > n <- 1000
      > ## a)
      > round(prop.test(740, 1000, conf=0.95)$conf.int, dig=4)
      [1] 0.7114 0.7667
      attr(,"conf.level")
      [1] 0.95
      > round(prop.test(740, 1000, conf=0.95, corr=F)$conf.int, dig=4)
      [1] 0.7119 0.7662
      attr(,"conf.level")
      [1] 0.95
      > round(p.est + qnorm(c(0.025, 0.975)) * sqrt(p.est * (1 - p.est)/n), dig=4)
      [1] 0.7128 0.7672
      > round(p.est + qnorm(c(0.025, 0.975)) * sqrt(0.5 * (1 - 0.5)/n), dig=4)
      [1] 0.709 0.771
      > ## b)
      > ceiling(qnorm(0.975)^2 * 0.5 * (1 - 0.5)/(0.03)^2)
      [1] 1068

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  4. Certo material deve ter ao menos 12 unidades de um certo elemento em sua composição, e com um desvio padrão de 0,5 unidades. Um laboratório deseja testar a hipótese de que um lote está dentro da especificação contra a de que está fora (ou seja com média inferior a 12) usando uma amostra aleatória de quatro unidades.
    1. qual a probabilidade do erro tipo I se a região crítica é definida como sendo x < 11,5 ?
    2. Qual é a probabilidade do erro tipo II se o valor verdadeiro do lote for 11.25 ?
    3. qual deveria ser o tamanho da amostra para que com a mesma região crítica, a probabilidade do erro tipo I não superasse 0,05 ?
    4. e qual seria o erro tipo II conforme definido no item (b) para este tamanho de amostra?

    Solução:

    Supondo distribuição normal:
    X ~ N(μ = 122 = 0,52)
    H0 = μ 12
    H1 = μ < 12
    n = 4
    X ~ N(μ = 122 = 0,524)
    1. P[Erro I] = P[ ¯X < 11,5|μ = 12] = 0.023

    2.              ¯
P[Erro II] = P[X > 11,5|μ = 11,25] = 0.159

    3. z = 11,5-√-12= - 1.645 -→ n = 3
     0,5∕  n

    4. ¯X ~ N (12;0,5∕3) -→ P[Erro II] = P[ ¯X > 11,5|μ = 11.25] = 0.193

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  5. O índice de produtividade diário de um processo está sendo estudado. De experiências anteriores sabe-se que este índice varia com desvio padrão de 3 unidades. Nos últimos cinco dias os índices foram:
       91,6   88,75    90,95   89,95   91,3
    Usando α = 0,05, use procedimentos estatísticos adequados para responder:
    1. há evidência de que o índice de produtividade difere de 90,0 ?
    2. qual o valor-p para o teste do item anterior?
    3. qual é a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira média é de 92,0 ?

    Solução:

      > dat <- c(91.6, 88.75, 90.95, 89.95, 91.3)
      > (zc <- (mean(dat) - 90)/(3/sqrt(5)))
      [1] 0.3801
      > ## a)
      > (ifelse(abs(zc) > qnorm(0.975), "Rejeita H_0, difere de 90",
      +                         "Nao rejeita H_0, nao difere significativamente de 90"))
      [1] "Nao rejeita H_0, nao difere significativamente de 90"
      > ## b)
      > round(2 * pnorm(abs(zc), low=F), dig=4)
      [1] 0.7038
      > ## c)
      > (crit <- 90 + qnorm(c(0.025, 0.975)) * 3/sqrt(5))
      [1] 87.37 92.63
      > diff(pnorm(crit, mean=92, sd=3/sqrt(5)))
      [1] 0.6803

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  6. Uma amostra de uma população com distribuição de Poisson de parâmetro λ forneceu os seguinte valores: 15    18    12   10   11   13   11   10   12   9   10   13   12   11   Encontre a expressão do estimador de máxima verossimilhança do parâmetro e obtenha o valor da estimativa do parâmetro.

    Solução:

    ˆ   ¯    ˆ
λ = X -→ λ = 11.93

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