CE-003: Estatistica II, 2a Prova - 1o semestre 2010 (26/05/2010)


  1. Seja uma função de densidade de probabilidade dada por:
          (   1
      {  10,      - 2 ≤ x < 0;
f(x) = ( 110 + 3x25,  0 ≤ x < 5;
         0        caso contrário

    Solução:

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  2. Supondo que a expectativa de vida, em anos, tenham distribuição exponencial com média de 60 anos:
    1. Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probabilidade de viver pelo menos até os 70 anos.
    2. Idem para morrer antes dos 70, sabendo que o indivíduo acabou de completar 50 anos.
    3. Calcule o valor de m tal que P(X > m) = 12.

    Solução:

    X : expectativa de vida (em anos)
    X ~ Exp(160)
    f(x) = 1-
60exp{-x∕60}I0,(x)
    1. P[X 70] = 70f(x)dx = 0.311
    2. P[X 70|X > 50] = P-[5P0[X<X>≤570]0] = ∫70
∫5∞0 ff(x(x))ddxx
 50 = 0.283

      ou, usando a propriedade de falta de memória:
      P[X 70|X > 50] = P[0 < X < 20] = 0.283
    3. mf(x)dx = 0,5-→m = 41.6

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  3. Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal com parâmetros μ = 1 e σ2 = 9x10-4. Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, pergunta-se a probabilidade de:
    1. Todas terem pelo menos 980 ml?
    2. Não mais que uma ficar com volume inferior a 980 ml?

    Solução:

    X : volume (em litros)
    X ~ N(μ = 12 = 9x10-4)
    Y : número de garrafas com volume inferior a 980 ml (0,98 l)
    Y ~ Bin(n = 3,p)
    p = P[X < 0,980] = P[Z < 0,9080,0-31-] = P[Z < -0.67] = 0.2525
    1. P[Y = 0] = (1 - p)3 = 0.418
    2. P[Y 1] = P[Y = 0] + P[Y = 1] = (1 - p)3 + 3 p (1 - p)2 = 0.841

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  4. Foram coletados dados de uma medida de produtividade de 40 funcionários da linha de produção de duas fábricas. A figura mostra os boxplot obtidos com os dados dos dois grupos. Discuta o resultado comparando os dois grupos.

    Solução: Comentar sobre: grupo de melhor desempenho em geral (mediana), grupo mais homogêneo, presença de dados discrepantes e (a)simetria das distribuições dos grupos.

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  5. Os dados a seguir são medidas da intensidade de insolação (watts∕m2) tomadas em diferentes dias em um certo local.
    562  869  708  775  775  704  809  856  655  806  878  909  
    918  558  768  870  918  940  946  661  820  898  935  952  
    957  693  835  905  939  955  960  498  563  730  753

    Solução:

      > insola <- c(562, 869, 708, 775, 775, 704, 809, 856, 655, 806, 878,
      +     909, 918, 558, 768, 870, 918, 940, 946, 661, 820, 898, 935,
      +     952, 957, 693, 835, 905, 939, 955, 960, 498, 563, 730, 753)
    1. construa um histograma dos dados
    2. construa um box-plot


        > par(mfrow = c(1, 2), mar = c(3, 3, 0, 0), mgp = c(2, 1, 0))
        > hist(insola)
        > boxplot(insola)

      PIC

      Figure 1: Histograma (esquerda) e boxplot (direita) dos dados de insolação da Questão 2.


    3. comente sobre os principais aspectos da distribuiçãoo destes dados baseando-se nos gráficos do problema anterior
      Resp: comentar sobre medida(s) de posição, dispersão, assimetria e presença de dados discrepantes
    4. calcule a média e mediana dos dados
        > mean(insola)
        [1] 808
        > median(insola)
        [1] 835
    5. calcule o desvio padrão e amplitude interquartílica
        > sd(insola)
        [1] 132.4
        > unname(diff(quantile(insola, prob = c(0.25, 0.75))))
        [1] 199
    6. calcule o coeficiente de variação e a amplitude total
        > 100 * sd(insola)/mean(insola)
        [1] 16.39
        > diff(range(insola))
        [1] 462