CE-003: Estatística II, turma G, Prova Final - 2o semestre 2009


  1. (1,5 pts) Sabe-se que o soro da verdade, quando ministrado a um suspeito, é 90% eficaz quando a pessoa é culpada e 99% eficaz quando é inocente. Em outras palavras, 10% dos culpados são julgados inocentes, e 1% dos inocentes é julgado culpado. Se o suspeito foi retirado de um grupo em que 95% jamais cometeram qualquer crime, e o soro indica culpado, qual a probabilidade de o suspeito ser inocente?

    Solução:

    C : comete crime; P[C] = 0, 05; P[C] = 0.95;
    JC : julgado culpado; P[JC|C] = 0, 90-→P[JC|C] = 0, 10
    JC : julgado inocente; P[JC|C] = 0, 99-→P[JC|C] = 0, 01
    P[C|JC] = P-[JC--∩-¯C]
   P[JC ] = -------P-[J-C-∩-C¯]------
P [JC  ∩ C] + P[J C ∩ ¯C ] = ---------P[JC-| ¯C-] ⋅ P-[C ¯]-----
P[J C|C ] ⋅ P [C ] + P [JC | ¯C] ⋅ P[C¯]
    = --------(0,01)(0,95)--------
(0,90 )(0, 05) + (0,01 )(0,95 ) = 0.174
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  2. (1,0 pts) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover?

    Solução:

    C : chove em um dia; P[C] = 0, 10; P[C] = 0.90
    PC : previsão de chuva; P[PC|C] = 0, 80-→P[PC|C] = 0, 20
    PC : sem previsão de chuva; P[PC|C] = 0, 90-→P[PC|C] = 0, 10
    P[C|PC] = P-[P-C-∩-C-]
  P [P C ] = -------P-[P-C-∩-C-]-------
P [PC  ∩ C] + P [P C ∩ C¯] = ---------P-[P-C-|C]-⋅ P[C-]--------
P [P C |C] ⋅ P[C ] + P [PC | ¯C] ⋅ P[C¯]
    = -------(0,8-)(0,10-)--------
(0,8)(0,10) + (0,10)(0,90) = 0.471
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  3. (1,0 pts) A probabilidade de que João resolva esse problema é 1/3, e a de que José resolva é 1/4. Se ambos tentarem resolver independentemente, qual a probabilidade de que o problema seja resolvido?

    Solução:

    A : João resolve; P(A) = 13
    B : José resolve; P(B) = 14
    P[A B] = P[A] + P[B] - P[A B]i=ndP[A] + P[B] - P[A] P[B] = 1-
3 + 1-
4 -1-
3 1-
4 = -6-
12 = 0, 5
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  4. (1,5 pts) Um vendedor de automóveis sabe que o número de carros vendidos por dia em sua loja comporta-se como uma v.a. de Poisson cuja média é 2 nos dias de tempo bom, e é 1 nos dias chuvosos. Se em 70% dos dias faz tempo bom, qual é a probabilidade de que em certo dia do ano sejam vendidos pelo menos 3 automóveis?

    Solução:

    Y : número de vendidos; P[Y = y] = e-lambdaλx∕x!
    C : chuva; P[C] = 0, 70; P[C] = 0, 30
    Y |C ~ P(λ = 2); Y |C ~ P(λ = 1)
    P[Y 3] = 1 - P[Y = 0] - P[Y = 1] - P[Y = 2] = P[Y 3|C] P[C] + P[Y 3|C] P[C] = (1 -   e- 110
   ------
     0! +             e-111
            ------
              1! +                     e- 112
                    ------
                      2!) 0.3 + (1 -                                       e-220
                                       ------
                                         0! +                                                e- 221
                                               ------
                                                 1! +                                                         e-222
                                                        ------
                                                          2!) 0.7 = 0.106
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  5. (3,0 pts) Os tempos de montagem de um módulo, sem segundos, em uma linha de produção forma anotados em uma amostra de 20 execuções.
      200.2   196.7   177.6   184.9   197.6   193.0   158.6   223.3   194.6   198.4  
      178.5   191.4   174.4   208.4   187.2   184.7   177.1   212.5   198.2   182.7

    1. Monte um diagrama ramo-e-folhas dos dados.
    2. Monte um gráfico "box-plot" com os dados obtidos.
    3. Calcule o tempo médio, o desvio padrão e o coeficiente de variação
    4. Monte intervalos de confianças a 95% e 99% para a média populacional.
    5. Que tamanho deveria ter a amostra para que o intervalo (186 ; 196) tenha 95% de confiança?
    6. há interesse particular em saber se o tempo médio de montagem está abaixo de 195 segundos em conformidade com especificações de processo. Teste esta hipótese para o nivel de significância de 5%

    Solução:

    1.     The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
        
          14 | 9
          16 | 4789
          18 | 35571357888
          20 | 083
          22 | 3


    2. PIC

    3. x = 191; Sx = 14.7; CV = 7.7%
    4. IC90% : x ± t0,05 -S--
√n-- : 191 ± 1.729 14.7-
√20-- : (185.32; 196.68)
      IC95% : x ± t0,025 √S--
  n : 191 ± 2.093 √14.7-
  20 : (184.12; 197.88)
    5. X : tempo de reação
      X ~ N(μ,σ2)
      X ~ tn-1
      Aproximando a distribuição t pela normal:
      zα∕2-S--
√n-- 196---186-
    2
      zα∕214.7
√----
  20 = 5
      n = 34
    6. H0 : μ 195versusH1 : μ > 195
      α = 0.05
      tc = x¯-  195
----√---
 S ∕  n = -1.217
      pvalor = 0.1193
      Conclusão: não rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%, portanto não há evidências suficientes para se afirmar que o tempo esteja abaixo de 195.

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  6. (2,0 pts) O tempo de reação de um motorista a um estímulo visual tem distribuição normal com média de 0,4 segundos e desvio padrão de 0,05 segundos?
    1. Qual a probabilidade que submetido a um estímulo o tempo de reação seja superior a 0,5 segundos?
    2. Qual a probabilidade que a reação esteja entre 0,4 e 0,5 segundos?
    3. Qual o tempo de reação que é excedido em 90% das vezes?
    4. Entre quais valores ao redor do tempo médio espera-se encontrar o tempo de reação em 50% dos casos?

    Solução:

    X : tempo de reação
    X ~ N(0, 4; 0.052)
    1. P[X > 0, 5] = P[Z > 0,5--0,4
  0.05] = 0.0228
    2. P[0, 4 < X < 0, 5] = P[0,4-0,4
 0.05 < Z < 0,5-0,4
  0.05] = P[0 < Z < 2] = 0.4772
    3. P[X > c] = 0.90
      P[Z > c --0,4
 0,05] = 0.90
      z = -1.282 = c - 0,4
-------
  0,05
      c = 0.34
    4. P[d1 < X < d2] = P[|X - μ| < d] = 0.50
      d = 0.674 0, 05 = 0.034
      d1 = 0, 4 - d = 0.366
      d2 = 0, 4 + d = 0.434
      (0.366, 0.434)

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