CE-003: Estatística II, turma G, 3a Prova - 2o semestre 2009


  1. (2,0 pts) Sabe-se que o peso de um certo tipo de peça tem desvio padrão de 5 cm. Em uma amostra de 36 peças observou-se que a média era de 150 cm.
    1. Monte um intervalo de confiança (95%) para a média populacional.
    2. Que tamanho deveria ter a amostra para que o intervalo (149,02 ; 150,98) tenha 95% de confiança?

    X : peso da peça
    X ~ N(μ, 55)
    amostra : n = 36 ; ¯x = 150
    X¯ ~ N(μ, 5236)
    1. (148.37 ; 151.63)
    2. zα∕2-5-
√n = 150,98-149,02-
    2-→n = 100

    ___________________________________________________________________________________________________________________________________

  2. (2,5 pts) Foi feita uma entrevista com uma amostra aleatória de 500 pessoas que foram perguntadas se são a favor do impedimento (impeachment) de um ocupante de cargo público acusado de conduta indevida. Entre os entrevistados 265 manifestaram-se a favor do empedimento.
    1. Monte intervalos de confiança a 90, 95 e 99% para o percentual de favoráveis.
    2. Qual deveria ser o tamanho da amostra para que a margem de erro fosse de 1,5% com 95% de confiança?
    3. Com os dados da pesquisa, poderia-se afirmar, com um nível de significância de 5%, que o impedimento é apoiado pela maioria da população?

    X : número de favoráveis
    X ~ B(n = 500,p)
    amostra : n = 500 ; ˆp = 265
----
500 = 0.53
    ˆp ~ N(p,p(1 - p)∕n)
    1.   > p.est <- 265/500
        > p.est + qnorm(c(0.05, 0.95)) * sqrt(p.est * (1 - p.est)/500)
        [1] 0.4933 0.5667
        > p.est + qnorm(c(0.025, 0.975)) * sqrt(p.est * (1 - p.est)/500)
        [1] 0.4863 0.5737
        > p.est + qnorm(c(0.005, 0.9995)) * sqrt(p.est * (1 - p.est)/500)
        [1] 0.4725 0.6034
    2. zα∕2∘ ------
  p(1-n-p) = 0.015-→n = 4253
    3. H0 : p 0, 5 versus H1 : p > 0, 5
      α = 0.05
      zc =      ˆp - 0,5
∘-----------------
   0,5(1 - 0,5)∕n = 1.3416
      pvalor = 0.0899
      Conclusão: não rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%, portanto não há evidências suficientes para se afirmar que a maioria seja favorável ao impedimento.

    ___________________________________________________________________________________________________________________________________

  3. (2,0 pts) O nível de confiança dos consumidores em um produto era de 65%. Houve um problema envolvendo o produto e decidiu-se fazer uma pesquisa para investigar se tal problema reduziu este nível de confiança. Para isto foi feita uma pesquisa com uma amostra de 1200 consumidores dos quais 710 afirmaram ainda confiar no produto. Teste a hipótese de que houve uma redução no nível de confiança do produto.
    H0 : p 0, 65 versus H1 : p 0, 65
    α = 0.05
    zc = ∘----pˆ--0,-65------
  0,65 (1 - 0, 65)∕n = -4.1111
    pvalor = 2e - 05
    Conclusão: rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%, portanto não há evidências suficientes para se afirmar que diminuiu o nível de confiança no produto entre os consumidores.

    ___________________________________________________________________________________________________________________________________

  4. (2,0 pts) Defina e ilustre com um exemplo/situação hipotética os seguintes conceitos:
    1. parâmetro
    2. estimador
    3. estimativa
    4. distribuição amostral
    5. intervalo de confiança
    6. nível de significância

    ___________________________________________________________________________________________________________________________________

  5. (1,5 pontos) A distribuição dos comprimentos dos elos de uma corrente de bicicleta é normal com média 2cm e variância igual a 0.01cm2. Para que uma corrente se ajusta a bicicleta deve ter comprimento total entre 58 e 61cm.
    1. Qual a probabilidade de um elo escolhido ao acaso ser maior que 2, 15cm?
    2. Qual a probabilidade de uma corrente com 30 elos não se ajustar à bicicleta?
    3. E uma corrente de 29 elos?

    X : comprimento dos elos
    X ~ N(μ = 22 = 0.01)
    ¯X ~ N(μ¯x = 2x¯2 = 0.01∕n)
    1. P[X > 2.15] = 0.0668
    2. P[ i=1n=30 < 58 ou i=1n=30 > 61] = P[¯X < 58
30 ou ¯X > 61
30] = 0.0341
    3. P[ i=1n=29 < 58 ou i=1n=29 > 61] = P[¯
X < 58
29 ou ¯
X > 61
29] = 0.5