CE-003: Estatística II, turma G, 2a Prova - 2o semestre 2009


  1. (2,5 pts) Em um laticínio, a temperatura ideal do pasteurizador deve ser de 75C. Se a temperatura ficar inferior a 70C, o leite poderá ficar com bactérias indesejáveis ao organismo humano. Observações do processo mostram que na forma de operação atual os valores da temperatura seguem uma distribuição normal com média de 74,2C e desvio padrão de 2,2C.
    1. qual a probabilidade da temperatura ficar inferior a 70C?
    2. qual a probabilidade da temperatura ultrapassar os 75C desejados?
    3. qual a probabilidade de que em 20 pasteurização, alguma(s) dela(s) não atinja a temperatura de 70C?
    4. deseja-se regular equipamentos para alterar a temperatura média do processo para que a probabilidade de ficar inferior a 70C seja de no máximo 0,0005. Qual deveria ser a nova média de operação?
    5. suponha agora que a nova média de operação seja de 74,5C. Deseja-se então alterar o desvio padrão para satisfazer as condições do ítem anterior. Qual deve ser o novo desvio padrão de operação?

    Solução:

    X : temperatura do pasteurizador
    X ~ N(74,2;2.22)
    1. P[X < 70] = P[Z < (70 - 74,2)2.2] = 0.0281
    2. P[X > 75] = P[Z < (75 - 74,2)2.2] = 0.3581
    3. Y : número de pasteurizações que não atingem 70
      Y ~ Bin(20,p)
      p = P[X < 70] = 0.0281
      P[Y 1] = 1 - P[Y = 0] = 0.435
    4. P[X < 70|μ0] = 0,0005
      z0,0005 = (x - μ0)∕σ
      - 3.291 = (70 - μ0)2,2
      μ0 = 70 - 2,2(-3.291) = 77.26
    5. suponha agora que a nova média de operação seja de 74,5C. Deseja-se então alterar o desvio padrão para satisfazer as condições do ítem anterior. Qual deve ser o novo desvio padrão de operação?
      P[X < 70|σ0] = 0,0005
      z0,0005 = (x - 74,2)∕σ0
      - 3.291 = (70 - 74,2)∕σ0
      σ0 = (70 - 74,2)(-3.291) = 1.28

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  2. (2,0 pts) Uma empresa fabrica dois monitores de vídeo, M1 e M2. Supõe-se que as durabilidades possuem distribuição normal, sendo a média de 6 anos e o desvio padrão de 2,3 anos para o monitor M1 e média de 8 anos com desvio padrão de 2,8 anos para M2. M1 tem 2 anos de garantia e M2 tem 3 anos. A empresa lucra R$100,00 a cada M1 vendido e R$200,00 a cada M2 vendido, mas, se deixarem de funcionar no período da garantia, perde R$300,00 para M1 e R$800,00 para M2. Em média, qual modelo de monitor gera mais lucro para a empresa?

    Solução:

    F1 : tempo de vida para modelo M1 F2 : tempo de vida para modelo M2
    M1 ~ N(6,2,32) M 2 ~ N(8,2,82)
    F1 : falha durante garantia de M1 F2 : falha durante garantia de M2
    F1 ~ Ber(p1 = P[M1 < 2] = 0.041) F2 ~ Ber(p2 = P[M2 < 3] = 0.037)
    L1 : lucro com M1 L2 : lucro com M2

    l1 -300 100



    P[L1 - l1] p11 - p1
         
    l2 -800 200



    P[L2 - l2] p21 - p2

    E(L1) = (1 - p1)(100) + p1(-300) = 83.6
    E(L2) = (1 - p2)(200) + p2(-800) = 162.9

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  3. (1,0 pts) A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial.
    1. Qual a probabilidade de algum componente falhar antes de 10.000 horas?
    2. Após quantas horas se espera que 25% dos componentes tenham falhado?

    Solução:

    X : vida útil (hrs)
    X ~ Exp(λ = 110000)
    f(x) = λexp{-λx}
    1. P[X < 10.000] = 010000f(x)dx = 0.632
    2. P[X < t] = 0,25-→ 0tf(x)dx = 0,25-→t = 2877

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  4. (3,0 pontos) Os dados a seguir correspondem a indicadores de qualidade de dois métodos de produção. Foram coletadas amostras dos métodos de produção a anotadas os indicadores de qualidade.












    Método 10.92.59.23.23.71.31.22.43.68.3
    Método 25.36.35.53.64.12.72.01.55.13.5











    1. Faça um histograma de todos os dados (dos dois métodos juntos!)
    2. Faça um diagrama ramo-e-folhas de todos os dados (dos dois métodos juntos!)
    3. calcule a média, variância e coeficiente de variação para cada método separadamente
    4. compare os métodos baseando-se nos resultados das medidas calculadas no item anterior

    Solução:

    1. Histogramas com diferentes números de classes


      PIC

    2. ramo-e-folhas do diferentes números de ramos
          The decimal point is at the |
        
          0 | 9235
          2 | 045725667
          4 | 1135
          6 | 3
          8 | 32
          The decimal point is at the |
        
          0 | 9
          1 | 235
          2 | 0457
          3 | 25667
          4 | 1
          5 | 135
          6 | 3
          7 |
          8 | 3
          9 | 2
    3.             Método 1 Método 2
        média        3.630    3.960
        variância    8.289    2.532
        cv          79.313   40.179
    4. Aspectos a serem comentados:
      • comparação das médias
      • comparação variâncias
      • coeficiente da variação comparando variabilidades de grupos com médias diferentes

      Outros possíveis comentários

      • assimetria
      • presença (ou não) de dados discrepantes

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  5. (1,5 pontos) Foram coletados dados de uma medida de produtividade de 40 funcionários da linha de produção de 2 fábricas. A figura abaixo mostra os boxplot obtidos com os dados dos dois grupos. Discuta o resultado comparando os dois grupos.


    PIC

    Solução:
    Aspectos básicos a serem comentados:
    O grupo 1 apresenta menor valor de medida de tendência central (mediana) e maior variabilidade (amplitude interquartílica), apresentando ainda uma leve assimetria. O grupo 2 é mais homogêneo, porém apresenta 3 dados atípicos.

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