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```

# Experimentos fatoriais $2^k$

```
                       |-> número de fatores
                     2^k =  número de observações (mas pode ter repetições)
  número de níveis <-|
```

São utilizados em fases exploratórias da região experimental pois
permitem estudar com baixo custo um número grande de fatores. Isso
permite selecionar os fatores de importância e indica um nova região
experimental para um próximo ensaio. Decorrente do uso de apenas 2
níveis por fator, assume-se que a resposta seja aproximadamente linear
ao redor dos níveis dos fatores estudados.

## Nomenclatura:

* Fatores são representados por letras maiúsculas (A, B, C...)
* Os níveis de um fator são chamados de ALTO e BAIXO
* Um tratamento (combinação de fatores) é identificado por letras minúsculas
* Quando uma letra minúscula está presente é porque o fator
  correspondente ocorre no nível ALTO

## Esquema de sinais

* O sinal `+` é associado ao nível ALTO e `-` ao nível baixo
* A combinação de tratamentos com ambos os niveis baixos é representado
  por `(1)`
* Os sinais das interações são obtidos pelo produto dos sinais dos
  fatores envolvidos

# Fatorial $2^2$

## Representação geométrica e contrastes

```
[+]  b_________ab
     |         |
 B   |         |
     |         |
[-] (1)________a
    [-]   A   [+]
```

```
----------------------------------------------------
Nomenclatura      Sinais       	Descrição
----------------------------------------------------
	           A	B	AB
(1)	    	   -	-	+	    A e B níveis baixos
a		       +	-	-	    A alto e B baixo
b		       -	+	-	    A baixo e B alto
ab		       +	+	+	    A e B níveis altos
----------------------------------------------------
```

Os contrastes podem ser definidos como a diferença entre os níveis alto
e baixo de cada fator. Dessa forma, para um fatorial $2^2$ temos:

* Contraste de A
$$
\begin{align}
\text{contr}_{A} &= (a + ab) - (b + (1)) \\
                 &= a + ab - b - (1)
\end{align}
$$
* Contraste de B
$$
\begin{align}
\text{contr}_{B} &= (b + ab) - (a + (1)) \\
                 &= b + ab - a - (1)
\end{align}
$$
* Contraste de AB
$$
\begin{align}
\text{contr}_{AB} &= (ab + (1)) - (a + b) \\
                 &= ab + (1) - a - b
\end{align}
$$

Note que nas interações sempre o contraste vem de um
"cruzamento". `(1)`, `a`, `b` e `ab` são médias amostrais (para
experimentos sem repetição), ou somatórios (para experimentos com
repetições).

## Modelo estatístico

O modelo mais simples de um experimento fatorial $2^2$ é aquele que
possui apenas uma observação para cada combinação dos dois fatores
envolvidos, ou seja, não existem repetições, e o experimento possui
apenas 4 observações. Nesse caso o modelo é

$$
y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \epsilon_{ij}
$$

onde $\mu$ é a média geral do experimento, $\alpha_{i}$ é o efeito do
$i$-ésimo nível do fator A, $\beta_{j}$ é o efeito do $j$-ésimo nível do
fator B, $\gamma_{ij}$ é o efeito da interação entre A e B, e
$\epsilon_{ij}$ é o erro aleatório. Nesse caso particular de um
experimento $2^2$, temos $i = 1, \ldots, a$, e $j = 1, \ldots, b$, onde
$a = b = 2$.

Se o experimento possui mais de uma observação por combinação dos
fatores A e B, então dizemos que o experimento possui $n$ **réplicas**
ou **repetições**. Nesse caso, uma observação na {ij}-ésima
célula para a $k$-ésima repetição é denotada por $y_{ijk}$, e o modelo
fica

$$
y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \epsilon_{ijk}
$$

com $k = 1, \ldots, n$ representando as repetições. Dessa forma, o
número total de observações do experimento será $N = abn$.

## ANOVA para um experimento fatorial $2^k$

Em um experimento fatorial, estamos interessados em testar as hipóteses
de nenhum efeito principal para o fator A, nenhum efeito principal para
o fator B, e nenhum efeito da interação entre A e B.

$$
\begin{align}
\text{H}_0 &: \alpha_1 = \cdots = \alpha_a = 0 \\
\text{H}_1 &: \text{pelo menos um}\ \alpha_i \neq 0 \\
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\text{H}_0 &: \beta_1 = \cdots = \beta_b = 0 \\
\text{H}_1 &: \text{pelo menos um}\ \beta_j \neq 0 \\
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\text{H}_0 &: \gamma_{11} = \cdots = \gamma_{ab} = 0 \\
\text{H}_1 &: \text{pelo menos um}\ \gamma_{ij} \neq 0 \\
\end{align}
$$

Para testar estas hipóteses, utilizamos a Análise de Variância (ANOVA),
através da mesma ideia da ANOVA para o caso de apenas um fator.

A ANOVA testa estas hipóteses pela decomposição da variabilidade total
dos dados em componentes devido aos fatores e devido aos desvios
aleatórios, ou seja,

$$
\begin{align}
\text{SQTot} &= \text{SQTrat} + \text{SQRes} \\
             &= \text{SQA} + \text{SQB} + \text{SQAB} + \text{SQRes}
\end{align}
$$

Pode-se mostrar que a soma de quadrados para qualquer fator é

$$
\text{SQ} = \frac{\text{contr}^2}{n 2^k}
$$

A soma de quadrados total é a diferença

$$
\text{SQTot} = \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n} y_{ijk}^2 -
\frac{y_{...}^2}{N}
$$

onde $y_{...}$ representa o somatório total das observações do
experimento, $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n} y_{ijk}$.

A $\text{SQRes}$ é obtida pela diferença

$$
\text{SQRes} = \text{SQTot} - \text{SQA} - \text{SQB} - \text{SQAB}
$$

Os graus de liberdade associados à soma de quadrados podem ser
decompostos em

$$
\begin{align}
\text{SQTot} &= \text{SQA} + \text{SQB} + \text{SQAB} + \text{SQRes} \\
abn - 1      &= (a-1) + (b-1) + (a-1)(b-1) + ab(n-1)
\end{align}
$$

Se dividirmos cada uma das somas quadráticas pelo número correspondente
de graus de liberdade, obtemos as **médias quadráticas** para A, B, a
interação e o erro:

$$
\text{MQA} = \frac{\text{SQA}}{a-1} \qquad \text{MQB} =
\frac{\text{SQA}}{b-1} \qquad \text{MQAB} =
\frac{\text{SQAB}}{(a-1)(b-1)} \qquad \text{MQRes} =
\frac{\text{SQRes}}{ab(n-1)}
$$

Para testar as hipóteses da ANOVA, calculamos a estatística $F$ para os
tratamentos A, B, e a interação AB:

$$
F_A = \frac{MQA}{MQRes} \qquad F_B = \frac{MQB}{MQRes} \qquad F_AB =
\frac{MQAB}{MQRes}
$$

que possuem distribuição $F$ com graus de liberdade dados pelos graus de
liberdade das médias quadráticas do numerador e do denominador.

Geralmente na ANOVA fatorial, a interação é analisada por primeiro. Caso
a interação seja significativa, então os efeitos principais (que podem
ou não ser também significativos) não possuem muito valor prático, pois
não faz sentido analisar os efeitos isoladamente quando eles dependem
entre si. Caso a interação não seja significativa, ela pode ser retirada
do modelo e a interpretação sobre os efeitos principais é direta.

A tabela abaixo resume o quadro de ANOVA para um experimento fatorial
$2^k$.

Fonte de Variação | Soma de Quadrados | Graus de Liberdade | Média Quadrática | F |
------------------|----|--------------------|----|---|
A                 | $SQA$ | $a-1$             | $\text{MQA}
=\frac{\text{SQA}}{a-1}$ | $\frac{MQA}{MQRes}$ |
B                 | $SQB$ | $b-1$             | $\text{MQB}
=\frac{\text{SQB}}{b-1}$ | $\frac{MQB}{MQRes}$ |
AB                 | $SQAB$ | $(a-1)(b-1)$     | $\text{MQAB}
=\frac{\text{SQAB}}{(a-1)(b-1)}$ | $\frac{MQAB}{MQRes}$ |
Resíduo            | $SQRes$ | $ab(n-1)$     | $\text{MQRes}
=\frac{\text{SQRes}}{ab(n-1)}$ |  |
Total            | $SQTot$ | $abn - 1$     |  |  |


## Estimação e inferência dos efeitos

Esses experimentos em geral satisfazem as condições regulares (fatores
ortogonais e balanceamento) e nesse caso as médias amostrais podem ser
usadas para estimar os efeitos dos fatores. Isso facilita a execução da
análise que pode ser feita no local do experimento com lápis e papel,
outro experimento pode ser realizado em seguida a partir das conclusões
tiradas.

Os efeitos são contrastes entre médias (idênticos ao contraste soma zero
na notação matricial). Por exemplo, os efeitos principais de um fator
correspondem às diferenças entre as médias das combinações do nível alto
contra às do nível baixo. Como existem $n 2^{k-1}$ observações para cada
combinação dos fatores, então, para qualquer experimento $2^k$, as
estimativas dos efeitos podem ser calculadas como

* Efeito de A
$$
\begin{align}
\text{ef}_{A} &= \bar{y}_{A+} - \bar{y}_{A-} \\
	\\
	          &= \frac{\text{contr}_{A}}{n 2^{k-1}} \\
	\\
              &= \frac{a + ab - b - (1)}{n 2^{k-1}}
\end{align}
$$
* Efeito de B
$$
\begin{align}
\text{ef}_{B} &= \bar{y}_{B+} - \bar{y}_{B-} \\
    \\
              &= \frac{\text{contr}_{B}}{n 2^{k-1}} \\
	\\
                 &= \frac{b + ab - a - (1)}{n 2^{k-1}}
\end{align}
$$
* Efeito de AB
$$
\begin{align}
\text{ef}_{AB} &= \frac{\text{contr}_{AB}}{n 2^{k-1}} \\
	\\
                 &= \frac{ab + (1) - a - b}{n 2^{k-1}}
\end{align}
$$

Em experimentos fatoriais $2^2$ ($k = 2$), qualquer efeito é calculado
de forma simplificada por

$$
\begin{align}
\text{ef} &= \bar{y}_{+} - \bar{y}_{-} \\
     \\
          &=\frac{\text{contr}}{n 2}
\end{align}
$$

E no caso ainda mais particular de um experimento fatorial $2^2$ sem
repetição ($n = 1$), o efeito é simplesmente a média da diferença entre
duas médias (contraste):

$$
\begin{align}
\text{ef} &= \bar{y}_{+} - \bar{y}_{-} \\
    \\
          &= \frac{\text{contr}}{2}
\end{align}
$$

Note que um efeito é uma medida baseada na variação de duas unidades,
pois medimos a variação entre o nível alto (`+1`) e baixo (`-1`). Como
estamos interessados em fazer inferência sob os parâmetros do modelo de
regressão

$$
y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \epsilon_{ijk}
$$

então calculamos os **coeficientes** (os parâmetros do modelo) dividindo
as estimativas de efeito por dois, visto que os coeficientes de uma
regressão medem, por definição, a variação de **uma unidade** de $X$
(variáveis explicativas) sobre a média da variável resposta ($Y$).

Dessa forma, o cálculo dos coeficientes ($\hat{\beta}$) do modelo acima
para qualquer tratamento será

$$
\hat{\beta} = \frac{\text{efeito}}{2}
$$

Um coeficiete relaciona o fator à resposta, e o interesse está em saber
se a estimativa do coeficiente é ou não diferente de zero. Um teste t
pode ser usado para se avaliar a significância de um efeito.

Cada estimativa de efeito é a diferença entre duas médias
($\bar{y}_{+} - \bar{y}_{-}$). Em um experimento $2^k$ com $n$ réplicas,
metade das observações aparece em cada média, de forma que existem
$n2^k$ observações em cada média.

O erro-padrão de um coeficiente é a metade do erro-padrão de um
efeito. Se um efeito é uma diferença entre médias, então o erro-padrão
de um coeficiente é

$$
\begin{align}
\text{EP}(\hat\beta) &= \frac{\hat\sigma}{2} \sqrt{\frac{1}{n2^{k-1}} +
	\frac{1}{n2^{k-1}}} \\
	\\
          &= \hat\sigma \sqrt{\frac{1}{n2^{k}}}
\end{align}
$$

onde $\hat\sigma$ é estimado a partir da raiz quadrada da média
quadrática do erro ($\text{MQRes}$), lembrando do fato que, sob
$\text{H}_0$, $\text{E}(\text{MQRes}) = \sigma^2$.

A estatística t para testar $\text{H}_0: \beta = 0$ em um experimento
2^k é então,

$$
t = \frac{\hat\beta}{\text{EP}(\hat\beta)}
$$

com graus de liberdade iguais aos da média quadrática do erro
($ab(n-1$)).


# Exemplos

Veja as análises completas do experimento realizado em sala (bolhas) no
[script 06](http://www.leg.ufpr.br/~fernandomayer/ensino/ce074-2015-02/ce074_script06_2015-02.R).

