Universidade Federal do Paraná
Curso de Estatística
CE 089 - Estatística Computacional II
Prof. Dr. Walmes Marques Zeviani

Trabalho 1 - Geração de números aleatórios

Acadêmico: Machado de Assis, GRR: XXXXXXXX.

Descrição do trabalho

Gerar números aleatórios das seguintes distribuições de probabilidade listadas abaixo. Implementar o gerador de números aleatórios considerando o método da transformação integral de probabilidade. Algumas distribuições são informadas com a função densidade acumulada, \(F(x)\) e outras com a função densidade, \(f(x)\). O valor dos parâmetros é arbitrário mas deve considerar o espaço paramétrico informado.

A tarefa contém as seguintes etapas:

  1. Fazer gráfico da função densidade acumulada da distribuição. Aquelas onde foi dada \(f(x)\) a \(F(x)\) deve ser obtida. Fazer o gráfico contendo três curvas que serão obtidas pelas escolhar de valores para os parâmetros. Para distribuições sem parâmetros, fazer apenas uma curva.
  2. Criar uma função para gerar números aleatórios da distribuição. A função tem que ter um argumento obrigatório n que é o número de valores a ser gerado. O valor dos parâmentros podem ser argumentos opicionais.
  3. Gerar amostras de tamanho 10 mil da distribuição proposta e fazer histogramas, gráficos de densidade empírica e probabilidade acumulada empírica. Aos gráficos sobrepor a curva do modelo teórico.
  4. Em casos em que não existe expressão fechada para a inversa da distribuição acumulada, \(F^{-1}\), usar aproximação via função approxfun().

Lista de distribuição de probabilidades:

  1. \[ F(x) = 1/(1+\exp\{-\theta_{2}(x-\theta_{1})\}), \quad x\in \mathbb{R}, \theta_{1}>0, \theta_{2}>0. \]
  2. corrigida \[ F(x) = x/(\theta_1+x), \quad x>0, \theta_{1}>0. \]
  3. \[ f(x) = \frac{1}{2} \sin(x), \quad 0 < x < \pi. \]
  4. \[ f(x) = \frac{\cos(x)+1}{\pi}, \quad 0 < x < \pi. \]
  5. \[ F(x) = x^{\theta_{1}}, \quad 0 < x < 1, \theta_{1} > 1. \]
  6. \[ F(x) = 1-(x-1)^{2}, \quad 0 < x < 1. \]
  7. corrigida \[ F(x) = \exp\{-\exp\{\theta_{1}+\theta_2 x\}\}, \quad x \in \mathbb{R}, \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2} <0. \]
  8. \[ F(x) = \frac{x}{\theta_{1}}\left(1-\theta_{2}\left(1-\frac{x}{\theta_{1}}\right)\right)^{-1/\theta_2}, \quad 0< x< \theta_{1}, \theta_{1} > 0, 0< \theta_{2} < 1. \]
  9. \[ F(x) = 1-\exp\{-x^2/2\theta_{1}^2\}, \quad x> 0, \theta_{1} > 0. \]
  10. \[ F(x) = 1-\left(\frac{\theta_{1}}{x}\right)^{\theta_{2}}, \quad x> \theta_{1}, \theta_{1} > 0, \theta_{2} > 1. \]
  11. \[ F(x) = \frac{1}{2}\left(1+\frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}+\frac{1}{\pi}\sin\left(\pi \frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}\right)\right), \quad \theta_{1}-\theta_2 < x< \theta_{1}+\theta_{2}, \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2}> 0. \]
  12. \[ F(x) = \left(1+\left(\frac{x}{\theta_{1}}\right)^{-\theta_{2}}\right)^{-\theta_3}, \quad x> 0, \theta_{1}> 0, \theta_{2}> 0, \theta_{3}> 0. \]
  13. anulada. Escolha outra. \[ F(x) = \exp\left\{-\frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}-\theta_{3}\right\}, \quad x> \theta_{1}, \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2}> 0, \theta_{3}> 0. \]
  14. corrigida \[ F(x) = 1-\exp\{-\theta_{1}\exp\{\theta_{2} x\}\}, \quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0. \]
  15. corrigida \[ F(x) = \frac{1}{1+(x/\theta_{1})^{-\theta_{2}}}, \quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0. \]

Sorteio das distribuições aos acadêmicos

##-----------------------------------------------------------------------------
## O número da linha correspondende a linha com o nome do acadêmico na
## lista de chamada. Os números sorteados são os índices das
## distribuições de probabilidade na lista.

set.seed(123)
r <- replicate(20, sort(sample(1:15, 3, replace=FALSE)))
t(r)

##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,]    5    6   12
##  [2,]    1   14   15
##  [3,]    8   13   15
##  [4,]    6    7   14
##  [5,]    2    9   11
##  [6,]    1    4   14
##  [7,]    5   12   14
##  [8,]    9   11   13
##  [9,]    8   10   15
## [10,]    2    5    9
## [11,]    9   13   15
## [12,]    1    7   12
## [13,]    4    5   12
## [14,]    2    4    6
## [15,]    2    6    7
## [16,]    3    4    7
## [17,]    1    4   13
## [18,]    2    7   12
## [19,]    2    3    9
## [20,]    5   12   13

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