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disciplinas:ce067:teoricas:vacontinuas [2008/05/06 14:48]
silvia
disciplinas:ce067:teoricas:vacontinuas [2008/05/18 12:42] (atual)
joel
Linha 225: Linha 225:
 De forma mais geral, uma variável aleatória contínua é modelada pela distribuição exponencial se sua função densidade de probabilidade é descrita por:  De forma mais geral, uma variável aleatória contínua é modelada pela distribuição exponencial se sua função densidade de probabilidade é descrita por: 
  
-<​latex>​f(x)= \alpha e^{-\alpha x}, x0.</​latex>​+<​latex>​ f(x)= \alpha e^{-\alpha x}, x \geq 0.</​latex>​
  
 Para o modelo exponencial,​ a média e variância são inversamente proporcionais ao parâmetro α:  Para o modelo exponencial,​ a média e variância são inversamente proporcionais ao parâmetro α: 
Linha 234: Linha 234:
 Na distribuição exponencial,​ a probabilidade da variável aleatória pertencer ao intervalo //(a,b)// é obtida através de : Na distribuição exponencial,​ a probabilidade da variável aleatória pertencer ao intervalo //(a,b)// é obtida através de :
  
-P(a ≤ ≤ b)= ∫αexp(-αxdx= exp(-α a)-exp(-α b)+<​latex>​P(a \leq \leq b)= \int_{a}^{b} \alpha e^{-\alpha ​xdx= e^{-\alpha ​a}-e^{-\alpha ​b}</​latex>​
  
  
Linha 260: Linha 260:
 P(X > t+s|X>​s)=P(X>​t) P(X > t+s|X>​s)=P(X>​t)
 </​latex>​ </​latex>​
- 
 ==== Modelo Normal (Gaussiano) ==== ==== Modelo Normal (Gaussiano) ====
  
Linha 273: Linha 272:
 Algumas importantes propriedades desta distribuição são : Algumas importantes propriedades desta distribuição são :
  
-  -   <​latex>​f(x-\mu)=f(\mu-x)</​latex>​ +  -   <​latex>​f(x-\mu)=f(\mu-x)</​latex> ​(f(x) é simétrica em torno de μ) 
-  -   ​<​latex> ​\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow ​-\infty}f(x)=0 ​</​latex>​ +  -  <​latex>​ f(x) \rightarrow 0</​latex>​ quando <​latex> ​x \rightarrow ​\pm \infty</​latex>​  
-  -  ​<​latex>​ arg\max_{x} ​f(x) = \mu </​latex>​+  -  ​o valor máximo de f(x) se dá para x μ
  
  
Linha 290: Linha 289:
  
 <​latex>​ <​latex>​
-P(a\leq X \leq b)= \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}+P(a\leq X \leq b)= \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{1}{\sigma ​\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ​dx
 </​latex>​ </​latex>​
  
Linha 330: Linha 329:
  
 <​latex>​ <​latex>​
-P(9<​X<​10)= +P(9<​X<​10)=P\left(\dfrac{9-8,​2}{1,​34}<​Z<​\dfrac{10-8,​2}{1,​34}\right)</​latex>​
-</​latex>​ +
- +
-<​latex>​ +
-P\left(\dfrac{9-8,​2}{1,​34}<​Z<​\dfrac{10-8,​2}{1,​34}\right)+
-</​latex>​+
  
 <​latex>​ <​latex>​
-P(0,​597<​Z<​1,​343)=0,​186+=P(0,​597<​Z<​1,​343)=0,​186
 </​latex>​ </​latex>​
  
Linha 361: Linha 355:
 que serão obtidas a partir de: que serão obtidas a partir de:
  
-<​latex>​ P(X \geq 50)=\sum_{k=50}^{200}\binom{200}{ k}0,3^0,​7^{200-k}=0,​9484</​latex>​.+<​latex>​ P(X \geq 50)=\sum_{k=50}^{200}\binom{200}{ k}0,3^0,​7^{200-k}=0,​9484</​latex>​.
  
 Entretanto, este cálculo somente é viável se for utilizado um computador ou uma calculadora já programada para efetuar tal operação, pois envolve a somatória de 151 probabilidades. Uma das formas de obter este resultado, de modo aproximado, ​ é admitir que X é uma variável aleatória contínua e, pelas próprias características da distribuição binomial, a normal torna-se candidata natural para reger as probabilidades nesta aproximação. Então, com esta aproximação : Entretanto, este cálculo somente é viável se for utilizado um computador ou uma calculadora já programada para efetuar tal operação, pois envolve a somatória de 151 probabilidades. Uma das formas de obter este resultado, de modo aproximado, ​ é admitir que X é uma variável aleatória contínua e, pelas próprias características da distribuição binomial, a normal torna-se candidata natural para reger as probabilidades nesta aproximação. Então, com esta aproximação :
Linha 371: Linha 365:
 </​latex>​ </​latex>​
  
 +de modo que
 +
 +<​latex>​
 +E(X)=np
 +</​latex>​
 +
 +<​latex>​
 +Var(X)=np(1-p)
 +</​latex>​
 então, então,
  

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