Universidade Federal do Paraná   
Curso de Estatística   
CE 089 - [Estatística Computacional II](http://www.leg.ufpr.br/doku.php/disciplinas:ce089-2014-02)    
Prof. Dr. [Walmes Marques Zeviani](http://www.leg.ufpr.br/~walmes)   

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# Trabalho 1 - Geração de números aleatórios

Acadêmico: Machado de Assis, GRR: XXXXXXXX.

## Descrição do trabalho

Gerar números aleatórios das seguintes distribuições de probabilidade
listadas abaixo. Implementar o gerador de números aleatórios
considerando o método da transformação integral de
probabilidade. Algumas distribuições são informadas com a função
densidade acumulada, $F(x)$ e outras com a função densidade, $f(x)$. O
valor dos parâmetros é arbitrário mas deve considerar o espaço
paramétrico informado.

A tarefa contém as seguintes etapas:
  1. Fazer gráfico da função densidade acumulada da
     distribuição. Aquelas onde foi dada $f(x)$ a $F(x)$ deve ser
     obtida. Fazer o gráfico contendo três curvas que serão obtidas
     pelas escolhar de valores para os parâmetros. Para distribuições
     sem parâmetros, fazer apenas uma curva.
  1. Criar uma função para gerar números aleatórios da distribuição. A
     função tem que ter um argumento obrigatório `n` que é o número de
     valores a ser gerado. O valor dos parâmentros podem ser argumentos
     opicionais.
  1. Gerar amostras de tamanho 10 mil da distribuição proposta e fazer
     histogramas, gráficos de densidade empírica e probabilidade
     acumulada empírica. Aos gráficos sobrepor a curva do modelo
     teórico.
  1. Em casos em que não existe expressão fechada para a inversa da
     distribuição acumulada, $F^{-1}$, usar aproximação via função
     `approxfun()`.
     
Lista de distribuição de probabilidades:
  1. 
  $$latex
  F(x) = 1/(1+\exp\{-\theta_{2}(x-\theta_{1})\}), \quad x\in
  \mathbb{R}, \theta_{1}>0, \theta_{2}>0. $$
  2. *corrigida*
  $$latex
  F(x) = x/(\theta_1+x), \quad x>0, \theta_{1}>0.
  $$
  3. 
  $$latex
  f(x) = \frac{1}{2} \sin(x), \quad 0 < x < \pi.
  $$
  4. 
  $$latex
  f(x) = \frac{\cos(x)+1}{\pi}, \quad 0 < x < \pi.
  $$
  5. 
  $$latex
  F(x) = x^{\theta_{1}}, \quad 0 < x < 1, \theta_{1} > 1.
  $$
  6. 
  $$latex
  F(x) = 1-(x-1)^{2}, \quad 0 < x < 1.
  $$
  7. *corrigida*
  $$latex
  F(x) = \exp\{-\exp\{\theta_{1}+\theta_2 x\}\}, \quad x \in \mathbb{R},
  \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2} <0.
  $$
  8. 
  $$latex
  F(x) =
  \frac{x}{\theta_{1}}\left(1-\theta_{2}\left(1-\frac{x}{\theta_{1}}\right)\right)^{-1/\theta_2},
  \quad 0< x< \theta_{1},
  \theta_{1} > 0, 0< \theta_{2} < 1.
  $$
  9. 
  $$latex
  F(x) = 1-\exp\{-x^2/2\theta_{1}^2\}, \quad x> 0, \theta_{1} > 0.
  $$
  10. 
  $$latex
  F(x) = 1-\left(\frac{\theta_{1}}{x}\right)^{\theta_{2}}, \quad x>
  \theta_{1}, \theta_{1} > 0, \theta_{2} > 1.
  $$
  11. 
  $$latex
  F(x) =
  \frac{1}{2}\left(1+\frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}+\frac{1}{\pi}\sin\left(\pi
  \frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}\right)\right), \quad \theta_{1}-\theta_2 <
  x< \theta_{1}+\theta_{2}, \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2}> 0.
  $$
  12. 
  $$latex
  F(x) = \left(1+\left(\frac{x}{\theta_{1}}\right)^{-\theta_{2}}\right)^{-\theta_3},
  \quad x> 0, \theta_{1}> 0, \theta_{2}> 0, \theta_{3}> 0.
  $$
  13. *anulada*. Escolha outra.
  $$latex
  F(x) = \exp\left\{-\frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}-\theta_{3}\right\},
  \quad x> \theta_{1}, \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2}> 0, \theta_{3}> 0.
  $$
  14. *corrigida*
  $$latex
  F(x) = 1-\exp\{-\theta_{1}\exp\{\theta_{2} x\}\},
  \quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0.
  $$
  15. *corrigida*
  $$latex
  F(x) = \frac{1}{1+(x/\theta_{1})^{-\theta_{2}}},
  \quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0.
  $$

## Sorteio das distribuições aos acadêmicos

```{r}
##-----------------------------------------------------------------------------
## O número da linha correspondende a linha com o nome do acadêmico na
## lista de chamada. Os números sorteados são os índices das
## distribuições de probabilidade na lista.

set.seed(123)
r <- replicate(20, sort(sample(1:15, 3, replace=FALSE)))
t(r)

```

## Upload dos arquivos

Um zip contendo os arquivos de extensão `*.html` e `*.Rmd`, o diretório
com as figuras (por default `/figure`) e o diretório de cache (por
default `/cache`) deve ser hospedado em algum site de hospedagem de
arquivos. O link para download deve ser informado na página da
disciplina no campo de *discussões*. Sugere-se usar o
[datafilehost.com](http://www.datafilehost.com/) para o qual tem-se
instruções disponíveis na
[wiki leg/datafilehost](http://www.leg.ufpr.br/doku.php/disciplinas:datafilehost).

**Importante**: O nome do arquivo zip deve ser o GRR do aluno. Por
exemplo `20129999.zip`. O nome para o arquivo `*.Rmd` deve ser
`ce089-2014-01-trab01.Rmd`. O aluno deve identificar-se pelo GRR ao
fornecer o link para download do zip dentro do campo *discussões* na
página wiki leg da disciplina.

## Prazo para envio

O prazo limite para envio dos arquivos é 25/08/2014 até às 23h59. Não
serão considerados envios fora do prazo nem encaminhados por email.

```{r, eval=FALSE, include=FALSE}

curve(x^6, 0, 1)
curve(x^0.5, 0, 1)


curve(1-(x-1)^2, 0, 1)


curve(1-(x-1)^2, -1, 0)

x <- -sqrt(1-runif(1000))+1

plot(ecdf(x))

curve(exp(-exp(5-1.5*x)), -5, 10)
curve((x/2)*(1-0.3*(1-x/2))^(-1/0.3), 0, 2)
curve(1-(2/x)^2, 2, 10)

```
